方程的有关概念

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1、（一） 、方程的有关概念1. 方程：含有未知数的等式就叫做方程 . 2. 一元一次方程： 只含有一个未知数 (元 )x ， 未知数 x 的指数都是 1(次 )， 这样的方程叫做一元一次方程 . 例如： 1700+50x=1800 ， 2（ x+1.5x ） =5 等都是一元一次方程 . （例 1）3方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解 . （例 2）注： 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值 (或几个数值 )，而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程 . 方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值

2、，其次比较两边的值是否相等从而得出结论 . （二） 、等式的性质等式的性质 (1)：等式两边都加上 (或减去 )同个数 (或式子 )，结果仍相等 . 等式的性质 (1)用式子形式表示为：如果 a=b，那么 a c=b c 等式的性质 (2)：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等，等式的性质 (2)用式子形式表示为： 如果 a=b， 那么 ac=bc;如果 a=b(c 0)， 那么 ac=bc（三） 、移项法则 ：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项 （例 3）（四） 、去括号法则1. 括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同2. 括号外的因

3、数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变（五） 、解方程的一般步骤 （例 4）1. 去分母 (方程两边同乘各分母的最小公倍数 ) 2. 去括号 (按去括号法则和分配律 ) 3. 移项 (把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号 ) 4. 合并 (把方程化成 ax = b (a 0)形式 ) 5. 系数化为 1(在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x=ba). 一列一元一次方程解应用题的一般步骤（ 1）审题：弄清题意 （ 2）找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系 （ 3）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，

4、?然后利用已找出的等量关系列出方程 （ 4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值 （ 5）检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解， ?是否符合实际，检验后写出答案二、一元一次方程的实际应用1. 和、差、倍、分问题：增长量原有量增长率 现在量原有量增长量（ 1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率 , ”来体现 . （ 2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余 , ”来体现 . 例 1：兄弟二人今年分别为 15 岁和 9 岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的 2 倍？解：设 x 年后，兄的年龄是弟的年龄的 2 倍，则 x 年后兄的年龄是

5、 15+x，弟的年龄是 9+x由题意，得 2（ 9+x） =15+x 18+2x=15+x ，移向得： 2x-x=15-18 x=-3 答： 3 年前兄的年龄是弟的年龄的 2 倍（点拨： -3 年的意义，并不是没有意义，而是指以今年为起点前的 3 年，是与 3?年后具有相反意义的量）1. 一个数的 3倍比它的 2倍多 10，若设这个数为 x，可得到方程 _. 2. 用一根长 80厘米的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多 10厘米，则这个长方形的长和宽各是 _、 _. 面积是 _.2. 等积变形问题：（ 1） “等积变形”是以形状改变而体积不变为前提 . 常用等量关系为：形状面积变了，周

6、长没变；原料体积成品体积 . （ 2 常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，依据形虽变，但体积不变圆柱体的体积公式 V= 底面积高 S h hr 2长方体的体积 V 长宽高 abc 例 2 将一个装满水的内部长、宽、高分别为 300 毫米， 300 毫米和 80?毫米的长方体铁盒中的水，倒入一个内径为 200 毫米的圆柱形水桶中， 正好倒满， 求圆柱形水桶的高 （精确到 0.1 毫米， 3.14 ） 解：设圆柱形水桶的高为 x 毫米，依题意，得 （ 2002） 2x=300 300 801. 一根内径为 3的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为 8、高为 1.8 的圆柱形

7、玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了 . 3. 工程问题 ：工程问题：工作量工作效率工作时间完成某项任务的各工作量的和总工作量 1 例 3. 一件工程，甲独做需 15 天完成，乙独做需 12 天完成，现先由甲、乙合作3 天后， 甲有其他任务， 剩下工程由乙单独完成， 问乙还要几天才能完成全部工程？解： 设乙还需 x 天完成全部工程， 设工作总量为单位 1， 由题意得， ( 115+ 112) 3+ x12=1 1. 甲、乙工程队从相距 100m的马路两端开始挖沟，甲工程队每天挖沟的进度是乙工程队的 2倍少 1m，若 5天完工，两队每天各挖几米？4. 行程问题：路程速度时间 时间路

8、程速度 速度路程时间（ 1）相遇问题： 快行距慢行距原距（ 2）追及问题： 快行距慢行距原距（ 3）航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度抓住两码头间距离不变， 水流速和船速 （静不速） 不变的特点考虑相等关系例 4. 甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 90 公里，一列快车从乙站开出，每小时行 140 公里。（ 1）慢车先开出 1 小时，快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇？（ 2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距 600 公里？（ 3）两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车

9、与慢车相距600 公里？（ 4） 两车同时开出同向而行， 快车在慢车的后面， 多少小时后快车追上慢车？（ 5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢车？解： 设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 140x+90(x+1)=480 解： 设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得， (140+90)x+480=600 解： 设 x 小时后两车相距 600 公里，由题意得， (140 90)x+480=600 解： 设 x 小时后快车追上慢车。 由题意得， 140x=90x+480 解： 设快车开出 x 小时后追上慢车。由题意得， 140x=90(x+

10、1)+480 例 4.1. 已知轮船逆水前进的速度为 m千米 / 时，水流速度为 2千米 / 时，则轮船在静水中的速度是 _。1. A 、 B两地相距 30千米，甲、乙两人分别从 A、 B两地同时出发，相向而行。已知甲比乙每小时多走 1千米，经过 2.5 小时两人相遇，求甲、乙两人的速度？5. 商品销售问题（ 1）商品利润率商 品 利 润商 品 成 本 价 100% （ 2）商品销售额商品销售价商品销售量（ 3）商品的销售利润（销售价成本价）销售量（ 4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 8 折出售，即按原标价的 80%出售有关关系式：商品售价 =商品标价折扣率（ 5）商

11、品利润 =商品售价商品进价 =商品标价折扣率商品进价例 5. 工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35 元销售该工艺品 12 件所获利润相等 . 该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是 x 元 , 标价是（ 45+x）元 . 依题意，得 : 8 （ 45+x） 0.85-8x= （ 45+x-35 ） 12-12x 1. 一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？6. 储蓄问题 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息

12、，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率 . 利息的 20%付利息税 利息 =本金利率期数本息和 =本金 +利息利息税 =利息税率（ 20%）（ 3）利润 每 个 期 数 内 的 利 息本 金 100% 例 6. 国家规定存款利息的纳税方法是： 利息税 =利息 20%， 储户取款时由银行代扣代收 .若银行 1年定期储蓄的年利率为 1.98% ， 某储户取出 1年到期的本金及利息时，扣除了利息税 31.68元，则银行向该储户支付的现金是多少元？1. 某同学把 250 元钱存入银行，整存整取，存期为半年。半年后共得本息和 252.7元，求银行半年期的年利率是多少？（不

13、计利息税）7. 数字问题（ 1）要搞清楚数的表示方法：一般可设个位数字为 a，十位数字为 b，百位数字为 c十位数可表示为 10b+a， 百位数可表示为 100c+10b+a 然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程（其中 a、 b、 c 均为整数，且 1 a 9， 0 b 9， 0 c 9）（ 2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 1；偶数用 2n 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n 2 表示；奇数用 2n+1 或 2n 1 表示 . 例 7一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是 8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的 2 倍多 l0

14、 求原来的两位数一元一次方程方程 ：含 的等式 叫做方程 . 方程的解 ：使方程 的等号左右两边相等 的 ，就是方程的解 。解 方 程 ：求 的过程叫做解方程 。一元一次方程只 含有一个 未知数（元） ，未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。等式的基本性质等式的性质 1：等式的两边同时加（或减） （ ） ，结果仍相等。即：如果 a=b， 那么 a c=b 。等式的性质 2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。即：如果 a=b，那么 ac =bc ； 或 如果 a=b（ ） ，那么 a/c =b/c 分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的

15、值不变。即：ba =bmam =mbma （其中 m 0）1、在 2 1x ； 2 1 3x x ； 3 3 ； 1 3t 中 ， 等 式 有_，方程有 _2、根据“ x 的 2 倍与 5 的和比 x 的 12小 10 ” ，可列方程为 _ _ 3、若 (a 1)x |a| 3 6 是关于 x 的一元一次方程，则 a4 、 如 果 33 ba ， 那 么 a= ， 其 根 据是 解一元一次方程：1. 方程 4 3 4x x 的解是 x _2. 当 x= 时，代数式 2x 与代数式28 x 的值相等3、若 423x 与 3( ) 5x a a x 有相同的解，那么 1a _ _ _ 4、代数式 12 a 与 a21 互为相反数，则 a 5、解方程：14126110312 xxx 8(3x 1) 9(5x 11) 2(2x 7)=30 2(x+1) 5(x+1)= 13 6 4x 1.5 5x 0.8 1.2 x0.5 0.2 0.1 1 1 22 ( 1) ( 1)2 2 3x x x x