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1、问题 如图 已知菱形ABCD E是BC边上一点 连接AE交BD于点F 当 ABC 90 时 过点C作 CG AE交AE的延长线于点G 连接DG 求证 BDG BAE A BC D E F G 图3 隐圆大合集 隐圆大合集 圆圆 来如此简单来如此简单 定远第一初级中学 钱传福 定点定长走圆周 定线定角跑双弧 三点 不共线 必有外接圆 对角互补也共圆 有 圆 千里来相会 无 圆 对面不相识 圆 出 缘 生关系现 圆 成 缘 通真相明 确定隐圆的条件 一 定点 定长 1 依据 到定点的距离等于定长的点的集合是以定点 为圆心定长为半径的圆 2 应用 2 如图 四边形ABCD中 AB AC AD 2 B
2、C 1 AB CD 求BD的长 简析 22 1 由AB AC AD 2 知B C D在以A为圆2为 半径的圆上 由AB CD得DE BC 1 易求BD A B C C A B 1 如图 在矩形ABCD中 AB 4 AD 6 E 是AB边的中点 F是线段BC边上的动点 将 EBF沿EF所在直线折叠得到 EB F 连接B D 则B D的最小值是 简析 E为定点 EB 为定长 B 点路径为以E为圆心EB 为半 径的圆 作穿心线DE得最小 值为 2 应用 3 练习 如图 在Rt ABC中 C 90 AC 6 BC 8 点F作边AC上 且CF 2 点E为边BC 上的动点 将 CEF沿直线EF翻折 点C落
3、在 点P处 则点P到边AB的距离的最小值为 M 3 练习 如图 已知AB AC AD CBD 2 BDC BAC 44 求 CAD的度数 二 定线 段 定角 1 依据 与一条定线 段 的两端夹角一定的动点路 径是以定线为弦 定角为圆周角的弧 特别地 当定角为直角时 定弦即为直 径 2 应用 1 O 2 应用 2 矩形ABCD中 AB 10 AD 4 点P是CD上 的动点 当 APB 90 时 求DP的长 AB为定线 APB 为定角 90 P点路 径为以AB为弦 直径 的弧 如下图 易得DP 为2或8 简析 3 练习 如图 XOY 45 等边三角形ABC的 两个顶点A B分别在OX OY上移动
4、AB 2 那么OC的最大值为 AB为定线 XOY为定角 O点路径为以AB为弦所含圆 周角为45 的弧 如下图 转化 为求定点C到定圆M的最长路径 即CM MO 3 1 2 简析 三 三点 不共线 定圆 1 依据 不在同一直线上的三点确定一个圆 2 应用 ABC中 A 45 AD BC于D BD 4 CD 6 求AD的长 作 ABC的外接圆 如下 图 易得AD 7 5 12 简析 1 依据 对角互补 或一边所对的两个角相等 的四 边形四个顶点共圆 四 四点共圆 2 应用 如图 在矩形ABCD中 AB 6 AD 8 P E分 别是线段AC BC上的点 四边形PEFD为矩形 若AP 2 求CF的长
5、因 DCE DFE DPE 90 知D F C E P共圆 如下图 由 1 2 4 5 易得 APD DCF CF AP CD AD 得CF 1 5 简析 1 2 3 4 5 练习 如图 在正方形ABCD中 EAF 45 AE AF 分别交射线CB DC于点E F 交直线BD于M N 1 如图1 当点E F在边BC CD上时 求证 AMN DFN 2 在 1 的条件下 求证 AE AN 3 如图2 当E F在边CB DC的延长线上 AM 3时 求AF的长 小试牛刀 学了这么多 该你试一试了 1 如图 ABC中 ABC 90 AB 6 BC 8 O为AC的中点 过O作OE OF OE OF分别交
6、射 线AB BC于E F 则EF的最小值为 图中显然O E F B共圆 圆是动的 但弦BO 5 当BO为直径时最小 所以EF最小为5 简析 2 如图 Rt ABC中 C 90 ABC 30 AB 6 点D在AB边上 点E是BC边上一点 不与点B C 重合 且DA DE 则AD的取值范围是 小试牛刀 因DA DE 可以D点为圆心 以DA为半径作圆 则圆D与BC 相切时 半径DE最小 E向B点 移动半径增大直至D到B处 不 含B点 得2 AD 3 简析 如图 Rt ABC中 ACB 90 点D为 边AC上一点 DE AB于点E 点M为BD中点 CM的延长线交AB于点F 1 求证 CM EM 2 若 BAC 50 求 EMF的大小 3 如图 若 DAE CEM 点N为CM的 中点 求证 AN EM 图 图
