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1、 第三节 函数的极限 本节内容提要 一 当 时 函数的极限 二 当 时函数的极限 三 再讨论函数的极限 四 当 时 f x 的左极限与右极限 五 函数极限的性质 本节重点 函数极限的概念 函数的极限的计算 本节难点 函数极限的概念 教学方法 启发式 教学手段 多媒体与面授 教学时数 2学时 返回 一 当 时 函数 的极限 考察 时 函数 的变化趋势 由图1 17可以看出 y 1 0 图1 17 当x的绝对值无限增大时 的值 无限接近于零 即当 时 f x 0 1 函数极限的一般 定义 定义 如果当x绝对值无限增大即 时 对应的函数 值 无限趋近于一个确定的常数 则称函数 当 时以A为极限 记作
2、 或 根据上述定义 函数极限的 定义 定义 设函数f x 在 x M处有定义 如果对于任意给定的正 数 无论它多么小 总存在正数 使得适合 不等式 x Z 的所有X对应的函数值f x 都满足 或 注 的几何意义是 做直线y A 和y A 则总有一个正数 存在 使当XZ时 函数y f x 的 图形位于这两条平等直线之间 图1 18 y A A y f x A z 0 z x 图1 17 定义中 自变量x的绝对值无限增大指的是 x取正值而无限 增大 记为x 同时也取负值而绝对值无限增大 记作 X 但有时x的变化趋向只能或只需取这两种变化中的一 种情形 定义 如果当x 或X 时 函数无限接近于一个确
3、 定的常数A 那么A就叫做函数 当x 或X 时的极 限 记作 或 例如 y o x 图1 18 及 两个极限值相等 因此 如图 又如 及 y y arctanx o x 图1 19 所以 不存在 图1 19 由此得出 如果 和 都存在并且相等 那么 也存在并且与它们相等 如果 和 都存在但不相等 那么 不存在 例 例1 求 和 解 如图1 20所示 例2 讨论当 时 函数 的极限 解 因为 和都存在 但不相等 所以 不存在 y y e x y ex X 0 图1 20 返回 二 当 时函数 的极限 例 考察当 时函数 的变化 解 函数 在 有定义 设 从 的左侧无限接近于 即 取值及对应的函数
4、如下表 2 9 2 992 999 3 0013 013 1 2 97 2 9972 9997 3 000 3 3 0033 03 可以看出 当x越来越接近于3时 的值无限接近于3 y 3 x 3 x X 图1 21 例3 考察当 时 函数 的变化趋势 解 函数 在 内有定义 设x从1的左 右两侧无限接近于1时 对应的函数 如表1 3 X 0 90 990 999 1 1 0011 011 1 1 91 991 999 2 2 0012 012 1 可以看出 当 越来越接近于1时 的值无限接近 于2 图1 22 0 1 2 3 图1 22 2 1 定义 设函数 x 在点 的某一空心邻域内有定义
5、 如果当 X无限接近于 但不等于 时 x 无限趋近于某个确定的 常数A 称当X趋近于 时函数以A为极限 记作 或 由此可知 返 三 再讨论函数的极限 1 定义 设函数 在X的某一邻域内有定义 在 可以没 有定义 若对任一 存在 使得当 时 有 则称函数 当 时以A为极限 例5 证明 证明 对任意给定的 存在 则当 时 所以 例6 证明 C为常数 证 对任意给定的 存在 当 时有 所以 例7 证明 证 对任意给定的 存在 当 时有 所以 2 函数 当 时极限为A的极限的几何解释 由二直线 与 为边界所构成的宽为的带形 区域 不论怎样狭窄 总存在以 为中心 以 为半径邻 域 当x落在此邻域内时 相
6、应的函数图形都落这个带 形区域内如图1 23 y A A A 0 x0 x0 x0 x 图 1 23 返回 四 当 时 的左极限与右极限 定义 如果当 时 函数 无限趋近于一个确定的常 数A 那么A就叫做函数 当 时的左极限 记作 或 定义 如果当 时 函数 无限趋近于一个确定的常 数A 那么A就叫做函数 当 时的左极限 记作 或 由图 1 21 函数 当 左极限为 右极限为 即 注 函数 当 时极限存在的充分必要条件是左 极限和右极限各自存在且相等 即 当 都存在 但不相等 或者 至少一个不存在时 在X0处极限不存在 例 设函数 证明 当X 0时 F 的极限不存在 证明 由图 24可知 因为F F 所以 不存在 例 设函数 求 并由此判断极限是否存在 解 即f 1 0 f 1 0 2由函数f x 在 处极限存在的充要 条件知 返回 五 函数极限的性质 性质1 如果 或 存在 那么极限是惟一的 性质2 如果 或 那么存在一个 正数M 使得函数在点X0 可以不包括X0 的某一领域 内 或存在一个正数N 当 X N时总有 f x M 性质3 如果 且A 0 或A0 或f X 0 若在X0的某邻域内有f x 0 或f x 0 且有f x 0 或 f x 0 且则A 0 或A 0 小结 极限的两种定义 时 的极限 会求 时 的极限 函数极限的性质 完
