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1、.双曲线一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：与（）表示双曲线的一支。表示两条射线；没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在轴上中心在原点，焦点在轴上标准方程图 形xOF1F2PyA2A1yxOF1PB2B1F2顶 点对称轴轴，轴；虚轴为，实轴为焦 点焦 距 离心率（离心率越大，开口越大）渐近线通 径（3）双曲线的渐近线：求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0，即得，因式分解得到。与双曲线共渐近线的双曲线系方程是；（4）等轴双曲线为，其离心率为（4）常
2、用结论：（1）双曲线的两个焦点为，过的直线交双曲线的同一支于两点，则的周长= （2）设双曲线左、右两个焦点为，过且垂直于对称轴的直线交双曲线于两点，则的坐标分别是 二、例题讲解。例1、如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）（A） （B） （C） （D）【解析1】设AB交x轴于M，并设双曲线半焦距为c，是等边三角形，点代入双曲线方程：.化简得：.（e1，及舍去）故选D.【解析2】连AF1，则AF1F2为直角三角形，且斜边F1F2之长为2c.令由直角三角形性质知：.e1，取.选D.例2、设为双曲线上的一点，是该双
3、曲线的两个焦点，若，则的面积为（ ）A B C. D【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：.设；于是，故知PF1F2是直角三角形，F1P F2=90.选B.例3、已知中心在原点，顶点A1、A2在x轴上，离心率e=的双曲线过点P(6，6) (1)求双曲线方程 (2)动直线l经过A1PA2的重心G，与双曲线交于不同的两点M、N，问 是否存在直线l,使G平分线段MN，证明你的结论 解 (1)如图，设双曲线方程为=1 由已知得,解得a2=9,b2=12 所以所求双曲线方程为=1 (2)P、A1、A2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(3，0），其重心G的坐标为(2，2）假设存在直线l，使G(2，
4、2)平分线段MN，设M(x1,y1)，N(x2,y2) 则有，kl=l的方程为y= (x2)+2,由,消去y,整理得x24x+28=0 =164280,所求直线l不存在 一、 同步练习。1. 如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是（ ）(A)(B)(C)(D)2. 已知双曲线C0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（A）a(B)b(C)(D)3. 以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A B C D4. 以双曲线的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（） 5. 若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它
5、到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)6. 若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线的离心率是（ ）（A）3 （B）5 （C） （D）7. 已知双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点在双曲线上.则（ ） A. -12 B. -2 C. 0 D. 4二、填空题8. 过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则AFB的面积为_9. 已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是 10. 过双曲线的左焦点且垂直于轴的直
6、线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为_11. 已知点在双曲线上，并且到这条双曲线的右准线的距离恰是到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么点的横坐标是_12. 已知是双曲线的两个焦点，是过点的弦，且的倾斜角为，那么的值是_13. 已知是的两个顶点，内角满足，则顶点的轨迹方程是_二、 解答题14. 如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，是半圆弧上一点，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.（）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；（）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.若的面积不小于，求直线斜率的取值范围.15. 已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐
7、近线的距离为。（1）求双曲线C的方程；（2）如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围选择题：1. A 2. B 3. A 4. B 5. B 6. D 7. C 填空题： 8. 9. 10. 2 11. 12. 16 13. 17. 解：（）以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得MA-MB=PA-PBAB4.曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c2，2a2，a2=2,b2=c2-a2=2
8、. 曲线C的方程为.解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得MA-MB=PA-PBAB4. 曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.设双曲线的方程为0，b0）.则由 解得a2=b2=2, 曲线C的方程为()解法1：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， k（-,-1）（-1，1）（1，）.设E（x，y），F(x2,y2)，则由式得x1+x2=,于是EF而原点O到直线l的距离d，SDEF=若OEF面积不小于2,即SOEF，则有 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1(1-,1) (
9、1, ).解法2：依题意，可设直线l的方程为ykx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1-k2）x2-4kx-6=0.直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， .k（-，-1）（-1，1）（1，）.设E(x1,y1),F(x2,y2),则由式得x1-x2= 当E、F在同一去上时（如图1所示），SOEF当E、F在不同支上时（如图2所示）.SODE=综上得SOEF于是由OD2及式，得SOEF=若OEF面积不小于2 综合、知，直线l的斜率的取值范围为-，-1（-1，1）（1，）.18. （）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，所以所以由 所以曲线的方程是（）设直线AB的方程为由题意知由 由将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）=.
