《高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题课件北师大版选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第二章圆锥曲线与方程专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题课件北师大版选修1_1（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题专题 突破四 圆锥圆锥 曲线线的定点 定值值与最值问题值问题 第二章 圆锥曲线与方 程 与圆锥曲线有关的定点 定值问题是高考考查的热点 难度较大 此类 问题常常作为第19题或第20题的第二问 常以直线与圆锥曲线的位置关系为 背景 以坐标运算为基础 一般是证明满足条件的直线过定点 目标代数式 为定值 或计算面积 长度 数量积等的最大值 最小值 求解此类问题的关 键是引进变化的参数表示直线方程 数量积等 根据等式的恒成立 数式变 换等寻找不受参数影响的量 一 定点问题 例1 已知动圆过定点A 4 0 且在y轴上截得弦MN的长为8 1 求动圆圆心的轨迹C的方程 解 如图 设动圆圆心为O1 x y
2、 由题意 得 O1A O1M 当O1不在y轴上时 过O1作O1H MN交MN于H 则H是MN的中点 化简得y2 8x x 0 又当O1在y轴上时 O1与O重合 点O1的坐标为 0 0 也满足方程y2 8x 动圆圆心的轨迹C的方程为y2 8x 2 已知点B 1 0 设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P Q 若 x轴是 PBQ的角平分线 证明 直线l过定点 证明 由题意 设直线l的方程为y kx b k 0 P x1 y1 Q x2 y2 将y kx b代入y2 8x中 得k2x2 2bk 8 x b2 0 其中 32kb 64 0 即y1 x2 1 y2 x1 1 0 kx1 b x2
3、 1 kx2 b x1 1 0 2kx1x2 b k x1 x2 2b 0 将 代入 得2kb2 k b 8 2bk 2k2b 0 k b 此时 0 直线l的方程为y k x 1 即直线l过定点 1 0 点评 求定点问题 需要注意两个方面 一是抓 特值 涉及的定点多在两条坐标轴上 所以可以先从斜率不存在 或斜率为0的特殊情况入手找出定点 为解题指明方向 二是抓 参数之间的关系 定点问题多是直线过定点 所以要抓住问题的 核心 实质就是求解直线方程中参数之间的关系 所以要熟悉直线方程的特 殊形式 若直线的方程为y kx b 则直线y kx b恒过点 0 b 若直线 方程为y k x a 则直线恒过
4、点 a 0 1 求椭圆E的方程 可得a2 2b2 2 设椭圆E的左顶点是A 若直线l x my t 0与椭圆E相交于不同的两点M N M N与A均不重合 若以MN为直径的圆过点A 试判定直线l是否过定 点 若过定点 求出该定点的坐标 解 由x my t 0得x my t 把它代入E的方程得 m2 2 y2 2mty t2 4 0 设M x1 y1 N x2 y2 x1x2 my1 t my2 t 因为以MN为直径的圆过点A 所以AM AN x1x2 2 x1 x2 4 y1y2 因为M N与A均不重合 所以t 2 由于点T在椭圆内部 故满足判别式大于0 二 定值问题 1 求C的方程 解得a2
5、8 b2 4 2 直线l不过原点O且不平行于坐标轴 l与C有两个交点A B 线段AB的中点 为M 证明 直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 证明 方法一 设直线l y kx b k 0 b 0 A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 2k2 1 x2 4kbx 2b2 8 0 所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 方法二 设A x1 y1 B x2 y2 M xM yM 直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值 点评 1 求定值问题的常用方法 从特殊入手 求出定值 再证明这个值与变量无关 直接推理 计算 并在计算推理的过程中消去变量 从而得到定值 2 定值问题就是在运动变
6、化中寻找不变量的问题 基本思路是使用参数表示 要解决的问题 证明要解决的问题与参数无关 在这类问题中选择消元的方向 是非常关键的 跟踪训练2 2018 江西南昌高二检测 已知点F为抛物线C y2 4x的焦点 点 D 1 2 为抛物线C上一点 1 直线l过点F交抛物线C于A B两点 若 AB 5 求直线l的方程 解 依题意 点F的坐标为 1 0 设直线l的方程为x my 1 设A x1 y1 B x2 y2 则y1 y2 4m y1y2 4 故直线l的方程为2x y 2 0或2x y 2 0 2 过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P Q 试 证明直线PQ的斜率为定值 并求
7、出该定值 解 方法一 设直线DP的斜率为k k 0 则直线DQ的斜率为 k y2 4ty 8t 4 0 设P xP yP 因为点D的坐标为 1 2 所以2yP 8t 4 故yP 4t 2 从而点P的坐标为 4t2 4t 1 4t 2 用 t替换点P坐标中的t可得点Q的坐标为 4t2 4t 1 4t 2 即直线PQ的斜率为定值 1 方法二 设P x3 y3 Q x4 y4 因为x3 x4 所以y3 y4 4 三 最值 范围问题 与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考考查的重点 多以直线和椭圆 相交或直线和抛物线相切 相交为前提 考查弦长 面积或相关代数式的最 值与范围问题 该问题综合性较强 具有一
8、定的难度 其中最值与范围问题 多与三角函数 平面几何等知识综合考查 形式多样 例3 设椭圆M a b 0 的离心率与双曲线x2 y2 1的离心率互 为倒数 且椭圆的长轴长为4 1 求椭圆M的方程 2 若直线y x m交椭圆M于A B两点 P 1 为椭圆M上一点 求 PAB面积的最大值 由 8m2 16 m2 4 0 设A x1 y1 B x2 y2 点评 最值 范围问题的主要求解方法 1 几何法 若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义 则考虑利用图 形性质来解决 2 代数法 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系 则可先建立起 目标函数或等量关系 利用判别式 基本不等式 函数的性质等进
9、行求解 跟踪训练3 2018 济南高二检测 已知中心在原点O 左焦点为F1 1 0 的椭 圆C的左顶点为A 上顶点为B F1到直线AB的距离为 OB 1 求椭圆C的方程 整理得a2 b2 7 a 1 2 2 如图 若椭圆C1 m n 0 椭圆C2 0 且 1 则称椭圆C2是椭圆C1的 倍相似椭圆 已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆 若椭圆C 的任意一条切线l交椭圆C2于M N两点 试求弦长 MN 的取值范围 若切线l不垂直于x轴 可设其方程为y kx p 将y kx p代入椭圆C的方程 得 3 4k2 x2 8kpx 4p2 12 0 8kp 2 4 3 4k2 4p2 12 48 4k2 3 p
10、2 0 即p2 4k2 3 记M N两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 将y kx p代入椭圆C2的方程 得 3 4k2 x2 8kpx 4p2 36 0 12345 针对训练 ZHENDUIXUNLIAN 6 1 已知抛物线y2 2x的弦AB的中点的横坐标为 则 AB 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2 3 利用抛物线的定义可知 AF BF x1 x2 1 4 由图可知 AF BF AB 即 AB 4 当且仅当直线AB过焦点F时 AB 取得最大值4 123456 证明 由题意设A x1 y1 B x2 y2 3 已知A B是
11、抛物线y2 2px p 0 上的不同两点 满足 0 O是原点 求 证 1 A B两点的横坐标之积 纵坐标之积均为定值 y1y2 2 4p2x1x2 由 得y1y2 4p2且x1x2 4p2 A B两点的横坐标之积 纵坐标之积均为定值 123456 2 直线AB过定点 123456 证明 当直线AB垂直于x轴时 易知直线AB方程为x 2p 当直线AB与x轴不垂直时 由 1 中 得 y1 y2 y1 y2 2p x1 x2 故直线AB过定点 2p 0 123456 1 求椭圆C的标准方程 123456 123456 1 求椭圆E的方程 123456 2 经过点 1 1 且斜率为k的直线与椭圆E交于
12、不同的两点P Q 均异于点A 证明 直线AP与AQ的斜率之和为2 123456 123456 得 1 2k2 x2 4k k 1 x 2k k 2 0 由已知 4k k 1 2 4 1 2k2 2k k 2 0 得k0且k 2 设P x1 y1 Q x2 y2 x1x2 0 从而直线AP AQ的斜率之和 123456 所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2 123456 6 2018 全国 设抛物线C y2 2x 点A 2 0 B 2 0 过点A的直线l与C交 于M N两点 1 当l与x轴垂直时 求直线BM的方程 解 当l与x轴垂直时 l的方程为x 2 可得点M的坐标为 2 2 或 2 2 即x 2y 2 0或x 2y 2 0 123456 2 证明 ABM ABN 123456 证明 当l与x轴垂直时 AB为MN的垂直平分线 所以 ABM ABN 当l与x轴不垂直时 设l的方程为y k x 2 k 0 M x1 y1 N x2 y2 则x1 0 x2 0 123456 所以kBM kBN 0 可知BM BN的倾斜角互补 所以 ABM ABN 综上 ABM ABN
