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1、第 1 页（共 9 页）概率论与数理统计期末考试卷课程名称： 概率论与数理统计 考试时间专业 班 学号 姓名题号 一 二 三 四 五 总得分得分评卷人 复核人得分 一、填空题（每格 3 分，共 18 分）1. 设31)()()(321 APAPAP， 321 , AAA 相互独立，则（ 1） 321 , AAA 至少出现一个的概率为 _ _； （ 2） 321 , AAA 恰好出现一个的概率为 _ _ _。2. 设 )2,1( 2NX ， )1( PY ， 6.0XY ，则 2)12( YXE _ _。3设 YX , 是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为 )(xF X ， )( yF
2、Y 则,max YXZ 的分布函数是 。4若随机变量 X 服从正态分布 ),( 2N ， 2021 , XXX 是来自 X 的一个样本，令201110143iiii XXY ，则 Y 服从分布 。5. 若对任意给定的 0x , 随机变量 y 的条件概率密度 其它,00,)( yxexyf xyzy 则y 关于 x 的回归函数 )(xxy .得分 二、单项选择题（每小题 2 分，共 10 分）第 2 页（共 9 页）1. 设函数 )(xf 在区间 , ba 上等于 xsin ，而在此区间外等于 0，若 )( xf 可以做为某连续型随机变量 X 的密度函数，则区间 , ba 为（ ） 。(A) 2
3、,0 ； (B) ,0 ；(C) 0,2 ； (D) 23,0 。2. 假设随机变量 X 的概率密度为 )( xf ，即 )( xfX ，期望 与方差 2 都存在，样本 )1(, 21 nXXX n 取自 X ， X 是样本均值，则有（ ）(A) )( xfX ； (B) )(min1xfX ini；(C) )(max1xfX ini； (D) )(),(121niin xfXXX 。3. 总体 2 ( , )X N ， 2 已知， n （ ） 时， 才能使总体均值 的置信度为 0.95的置信区间长不大于 L 。 ( 975.0)96.1( ) （ A） 2 215 / L ； （ B） 2
4、215.3664 / L ；（ C） 2 216 / L ； （ D） 16 。4. 对回归方程的显著性的检验，通常采用 3 种方法，即相关系数检验法， F 检验法和 t 检验法，下列说法正确的（ ） 。(A) F 检验法最有效；(B) t 检验法最有效；(C) 3 种方法是相通的，检验效果是相同的；（ D) F 检验法和 t 检验法，可以代替相关系数的检验法。5设 nXXX , 21 来自正态总体 ),( 2N 的样本 ( 2 已知 ),令nXu/,并且21u满足 12121212 2/dxeuux ( 10 ),则在检验水平 下 , 检验00 :H 时 ,第第 3 页（共 9 页）一类和第
5、二类错误的概率分别是 ( )和 ( ).(A) |21uuP 当 0H 成立 ；(B) 21| uuP |当 0H 不成立 ；(C) |21uuP 当 0H 成立 ；(D) 21| uuP |当 0H 不成立 。得分 三、计算题（每小题 10 分，共 20 分）1. 设有甲、乙、丙三门炮，同时独立地向某目标射击命中率分别处为 0.2、 0.3、 0.5,目标被命中一发而被击毁的概率为 0.2，被命中两发而被击毁的概率为 0.6，被命中三发而被击毁的概率为 0.9，求：（ 1）三门火炮在一次射击中击毁目标的概率；（ 2）在目标被击毁的条件下，只由甲火炮击中的概率。解：设事件 CBA , 分别表示
6、甲、乙、丙三门炮击中目标， D 表示目标被击毁， iH 表示有 i 门炮同时击中目标（ 3,2,1i ） ，由题设知事件 CBA , 相互独立，故2.0)( AP ， 3.0)( BP ， 5.0)(CP ；2.0)|( 1HDP ， 6.0)|( 2HDP ， 9.0)|( 3HDP)()( 1 CBACBACBAPHP)()()( CBAPCBAPCBAP)()()()()()()()()( CPBPAPCPBPAPCPBPAP47.022.0)( 2HP ， 03.0)( 3HP（ 1）由全概率公式，得)|()()(31iii HDPHPDP第 4 页（共 9 页）253.09.003.
7、06.022.02.047.0（ 2）由贝叶斯公式，得)()|()()()()|(DPCBADPCBAPDPDCBAPDCBAP0554.0253.02.05.07.02.02随机变量 U 在区间 2,2 上服从均匀分布，随机变量-1若U1若U11X ，1若U1若U01Y。试求： （ 1） X 和 Y 的联合概率分布； （ 2） )( YXE ； （ 3） 22 YXZ 的概率分布。解： （ 1）因随机变量 U 在区间 2,2 上服从均匀分布，故4141)1()1,1()1,1( 12dxUPUUPYXP ；0)()11,1()0,1( PUUPYXP ；2141)11()1,1()1,1(
8、11dxUPUUPYXP4141)1()1,1()0,1( 21 dxUPUUPYXP故 X 和 Y 的联合概率分布如下：YX 1 0 1 1/4 0 1 1/2 1/4 (2) 关于 X 的边际分布为X 1 1 p 1/4 3/4 关于 Y 的边际分布为Y 1 0 p 3/4 1/4 第 5 页（共 9 页）故2143141)1()( XE ，4341043)1()(YE ，414321)()()( YEXEYXE（ 3） 22 YXZ 的概率分布为22 YXZ 1 2 p 1/4 3/4 1. 设随机变量 X 具有概率密度函数其他00)( 2 xAxxf ，试求（ 1）常数 A ； （ 2
9、） XY sin 的概率密度函数； （ 3） )2/1|sin(| XP 。解： （ 1） 由 1)( dxxf 得12|210 0222AAxdxAx ，得 2A ；（ 2）由于 X 在 ),0( 内取值， XY sin 的取值区间为 )1,0( ，故 Y 的可能取值区间外， 0)( yfY ，故arcsinarcsin0 XyyXyYdxxfdxxfyYPyFy XyXY )()()( arcsinarcsin0dxxdxxyyarcsin 2arcsin0 222在上式两端对 y 求导，得得分 四、计算题（ 每小题 10 分，共 20 分）第 6 页（共 9 页）2 2 2 2 22 a
10、rcsin 2( arcsin ) 2( )1 1 1Yy yp yy y ypp p p-= + =- - -， 10 y（ 3）112200 2 21 2 2(| sin | ) arcsin |2 1P X dy yy pp = = =-132设二维随机变量 ),( YX 的联合分布密度为其它00,10)1(24)(xyxyxyxp(1) 求随机变量 X 与 Y 的边际分布；(2) 若 YX , 分别为一矩形木板的长与宽 ,求木板面积的数学期望；(3) 求条件分布密度 )21|(| xyp XY 。解： （ 1）xX xxydyxdyyxpxp 02)1(12)1(24),()( 10
11、x)2(12)1(24),()(0 2yyydxxdxyxpyp yY 10 y（ 2）DdxdyyxxypXYE ),()( 0,10|),( xyxyxDydyxxydxx)1(24010154(3) 当 10 x 时， 2| 2)(),()|(xyxpyxpxypXXY xy0当21x 时， yxypXY 8)21|(| 210 y得分 五、计算题（ 每小题 10 分，共 20 分）第 7 页（共 9 页）1、设总体 X 的分布律为 1( ) (1 ) , 1,2,xP X x p p x ， 其中 0p 为未知参数，nXXX , 21 是来自总体 X 的样本，试求：（ 1） 参数 p
12、的矩估计量； （ 2）参数 p 的极大似然估计量（只需列出方程） 。2、假设随机变量 X 服从正态分布 )1,(N , 1021 , xxx 是来自 X 的 10 个观察值 ,要在05.0 的水平下检验0:,0: 100 HH取拒绝域为 | CxR 。(1) 求 ?C ；(2) 若已知 1x ,是否可以据此样本推断 )05.0(0 ；(3) 如果以 15.1| xR 作为该检验 0:0H 的拒绝域 , 试求检验的显著水平 。其中 975.0)96.1( ， 950.0)64.1( ， 99985.0)64.3( 。解： （ 1） 0: 00H ； 0:1H选择统计量 xnxU 10/0当 0
13、时， )1,0(/0NnxU对于 05.0 ，查表知 05.096.1| UP因此拒绝域 62.0|96.11096.1| xxUR即 62.0C（ 2）对于 62.01x ，即 Rx ，因此不能据此样本推断 0 ；（ 3） 1015.1|10|15.1| xPxP第 8 页（共 9 页）1015.1|10|1 xP0003.01)64.3(21由于检验的显著水平 就是在 0 时成立时拒绝 0H 的概率0003.01015.1|10| xPRUP得分 五、证明题（ 10 分）1设 0)( AP ，试证：)()(1)|(APBPABP 。证明： 因为 1)( BAP ， 即 1)()()( ABPBPAP1)|()()()( ABPAPBPAP)(1)()|()( BPAPABPAP)()()|()( BPAPABPAP)()(1)|(APBPABP （ 0)( AP ）2设随机变量 X 与 Y 相互独立，且都服从正态分布 )9,0(N ，而 921 , XXX 和921 , YYY 分别来自总体 X 和 Y 的样本，试证统计量)9(292221921 tYYYXXXU 。
