《概率论与数理统计习题解答(第7章)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计习题解答(第7章)（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 121 习 题 七（ A）三、解答题1. 设总体 X 服从几何分布，分布律为 ,.2,1,)1( 1 kppkXP k ， ( 10 p )求 p 的矩估计量解：因为 ,.2,1,)1( 1 kppkXP k ，所以 X 的一阶矩.1)1(1)1(11)1()1()(2/1111pppppppppppppkkXkPXEnkknkknk用样本的一阶 A1= X 代替总体 X 的一阶矩 E(X)得到 ,1pX所以 p 的矩估计量为 .1?Xp2. 求均匀分布 ),( baUX 中参数 ba, 的矩估计量解：设 X1， X 2， ， Xn 为总体 X 的一个样本，总体 X 的一阶、二阶矩分别为2)
2、(1 baXE2 = E(X2) = D(X) + E(X) 2= 3)2(12)( 2222 bababaab用样本的一阶、二阶矩 A1 和 A2 分别代替总体的一阶、二阶矩 1 和 2，得到322221babaAbaA解得 ba, 的矩估计量为niinii XXnXXXnAAAAa12212212121 )(33333?niinii XXnXXXnAAAAb12212212121 )(33333? 122 3. 设总体 X 的概率密度为|21);( xexf ， x1 , , nX X 是来自 X 的简单随机样本，求参数 的矩估计量解：总体 X 的一阶为)()()()()()()()()(
3、)(|12121212121|2121|212121212121)(xxxxxxxxxxxdededxexedxexexdexdedxexdxexdxexXE用样本的一阶 A1= X 代替总体 X 的一阶矩 E(X)得到 .? X4. 设总体 X 的概率密度为其它,0,1);( /)( xexf x ，其中 ),0( 是未知参数，1 , , nX X 是来自 X 的简单随机样本，求 和 的矩估计量解：总体 X 的一阶为.|1)(/)(/)(/)(/)(/)(1xxxxxdedxexexdedxexXE总体 X 的二阶为 123 22222/)(/)(2/)(2/)(222)(22)(22|1)
4、(dxxeexdexdxexXExxxx用样本的一阶、二阶矩 A1 和 A2 分别代替总体的一阶、二阶矩 1 和 2，得到2221)(AA解得 和 的矩估计量为nii XXnAA12212 )(1? ，nii XXnXAAA122121 )(1? . 5. 设 ),( pmBX ， m 已知， 10 p 未知， 1 , , nX X 是来自 X 的简单随机样本， 求p 的最大似然估计量解：由于 X 的分布律为mkppCxXP kmkkm ,.,1,0,)1(基于样本观测值 x1， x2， ， xn 的似然函数为ii xmnixxmn ppCpxxxLpL )1();,.,()(121 ,)1(
5、111nixmxnmxiniiniiCpp,ln)1ln(ln)(ln111nixmniiniiiiCpxnmpxpL,01)(lndd 11pxnmpxpLpniinii令解得 .11 mxxnmpnii 124 ,0)1()(lndd212122pxnmpxpLpniinii注意到：p 的最大似然估计值为 .1?1 mxxnpniip 的最大似然估计量为 .?mXp6. 设总体 X 的概率密度为0,00,);(xxexf x ，今从 X 中抽取 10 个个体，得数据如下 : 1050 1100 1080 1200 1300 1250 1340 1060 1150 1150 试用最大似然估计
6、法估计 解： 设 X1， X2， ， Xn 为总体 X 的一个样本，基于样本观测值 x1， x2， ， xn 的似然函数为其它,00,.,);();,.,()( 211211nxnniin xxxexfxxxLLnii当 0,., 21 nxxx 时，niixnL1ln)(ln ，令0)(ln1niixnLdd ，解得xxnnii11考虑到0)(ln 222 nLdd所以， 的最大似然估计值为x1?将数据代入计算， 的最大似然估计量为 ? 0.000858 125 7. 设某电子元件的使用寿命 X 的概率密度为,0,2);()(2xxexfx0 为未知参数， nxxx ,., 21 是 X 的
7、一组样本观测值，求 的最大似然估计值解： 设 X1， X2， ， Xn 为总体 X 的一个样本，基于样本观测值 x1， x2， ， xn 的似然函数为其它,0,.,2);();,.,()( 21)(21211nxnniin xxxexfxxxLLnii容易看出 越大 L( )越大，在约束 nxxx ,., 21 下， ,.,min? 21 nxxx即为 最大似然估计值。8. 设 21, XX 是取自总体 N( ， 1)的一个样本，试证下面三个估计量均为 的无偏估计量，并确定最有效的一个213132 XX ，214341 XX ， .2121 XX证明：因为 21, XX 独立均服从 N( ，
8、1)，且,3132)(31)(32)3132(2121 XEXEXXE,4341)(43)(41)4341( 2121 XEXEXXE . ,)()2121(21 XEXXE所以 213132 XX ，21 4341 XX ， .2121 XX 均为 的无偏估计量。又因为,9109199)(91)(94)3132(2121 XDXDXXD,85169161)(169)(161)4341(2121 XEXEXXD,212)()()2121(21XDXDXXD所以 .2121 XX 最有效。 126 9. 设总体 X 的数学期望为 ， 1 , , nX X 是来自 X 的简单随机样本 naaa ,
9、 21 是任意常数 ,证明 )0(111niiniiniii aaXa是 的无偏估计量证明：因为 Xi 的数学期望均为 ，所以,)()(111111niiniiniiniiiniiniii aaaXaEaXaE故 )0(111niiniiniii aaXa 是 的无偏估计量10. 设总体 2 1 ( , ), , , nX N X X 是来自 X 的一个样本(1) 试确定常数 c，使1121 )(niii XXc 为2 的无偏估计 ; (2) 试确定常数 c，使 )( 22 cSX 为 2 的无偏估计解： （ 1）因为21121111221122211112111211111211121111
10、12111211121)1(2)2()(2)()()()(2)()()()(2)()2()(ncccXEXEXEXEcXEXEXEXEcXXXXEcXXcEninininininiiiniiininiiiniiininiiiniiiniii所以当)1(21nc 时11221 )(niii XXcE ，1121 )(niii XXc 为2 的无偏估计。（ 2）因为22222222 )()()()()()(cnXcDXEXDScEXEcSXE所以当nc 1 时 222 )( cSXE ， )( 22 cSX 为 2 的无偏估计。11. 设某种清漆的 9 个样品，其干燥时间（以小时计）分别为 127
11、 6.0， 5.7， 5.8， 6.5， 7.0， 6.3， 5.6， 6.1， 5.0 设干燥时间总体服从 N( ， 2)；在下面两种情况下，求 的置信水平为 0.95 的置信区间(1) 由以往的经验知 = 0.6 (小时 ); (2) 未知解： （ 1）由于 = 0.6，求 的置信区间由公式 22 , znXznX 计算，其中 n=9， =0.05， 025.02 zz 1.96， 691 91iixx ，代入计算得 的置信水平为 0.95 的置信区间为（ 5.608， 6.392） . （ 2）由于 未知，求 的置信区间由公式 )1(),1( 22 ntnSXntnSX 计算，其中 n=
12、9， =0.05， )8()8( 025.02 tt =2.306 ， 691 91iixx ， 33.0)(11 212nii xxns ，代入计算得 的置信水平为 0.95 的置信区间为（ 5.558， 6.442）12. 某机器生产圆筒状的金属品，抽出 9 个样品，测得其直径分别为 1.01， 0.97， 1.03，1.04， 0.99， 0.98， 0.99， 1.01， 1.03 公分， 求此机器所生产的产品， 平均直径的置信水平为 99%的置信区间假设产品直径近似服从正态分布解：设 XN( , 2),由于 2未知， 的置信区间为 )1(),1( 22 ntnSXntnSX ，其中
13、n=9， =0.01 ， 3554.3)8()8( 005.02 tt ， 0056.191 91iixx ，0006.0)(11 212nii xxns ，代入计算得 的置信水平为 99%的置信区间为（ 0.978， 1.033） . 13. 某灯泡厂从当天生产的灯泡中随机抽取 9 只进行寿命测试，取得数据如下 （单位：小时） ： 1050， 1100， 1080， 1120， 1250， 1040， 1130， 1300， 1200设灯泡寿命服从正态分布，试求当天生产的全部灯泡的平均寿命的置信水平为 95%的置信区间解：设 XN( , 2),由于 未知， 的置信区间为)1(),1( 22
14、ntnSXntnSX ，其中 n=9， =0.05 ， )8()8( 025.02 tt =2.306， 11.114191 91iixx ， 128 11.8136)(11 212nii xxns代入计算得 的置信水平为 95%的置信区间为（ 1071.78， 1210.45） . 14. 假设某种香烟的尼古丁含量服从正态分布， 现随机抽取此种香烟 8 支为一样本， 测得其尼古丁平均含量为 18.6 毫克，样本标准差 s = 2.4 毫克，试求此种香烟尼古丁含量方差的置信水平为 0.99 的置信区间解：设 XN( , 2),由于 未知， 2 的置信区间为)1()1(,)1()1(221222
15、2nSnnSn其中 n=8， =0.01 ， 9892.0)7()1(,2777.20)7()1( 2 995.02 212005.02 2 nn ， s = 2.4 ，代入计算得 的置信水平为 95%的置信区间为（ 1.99， 40.76） . 15. 从某汽车电池制造厂生产的电池中随机抽取 5 个，测得其寿命分别为 1.9， 2.4， 3.0，3.5， 4.2，求电池寿命方差的置信水平为 95%的置信区间，假设电池寿命近似服从正态分布解：设 XN( , 2),由于 未知， 2 的置信区间为)1()1(,)1()1(2212222nSnnSn其中 n=5， =0.05 ， 4844.0)4()1(,1433.11)4()1( 2975.02 212 025.02 2 nn ，351 51iixx， 815.0)(11 212nii xxns ，代入计算得方差的置信水平为 95%的置信区间为（ 0.29， 6.73） . 16. 设使用两种治疗严重膀胱疾病的药物， 其治疗所需时间 （以天计） 均服从正态分布 试验数据如下 : 使用第一种药物 5.1,17,14 2111 sxn使用第二种药物 8.1,19,16 2222 sxn假设两正态总体的方差相等， 求使用两种药物平均治疗时间之差 21 的置信水平为 99%的置信区间解：设两正态总体
