《2020年高考数学复习几何问题的转换》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学复习几何问题的转换（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、几何问题的转换 一 基础知识 在圆锥曲线问题中 经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化 合理的进行几何条件 的转化往往可以起到 四两拨千斤 的作用 极大的简化运算的复杂程度 在本节中 将列 举常见的一些几何条件的转化 1 在几何问题的转化中 向量是一个重要的桥梁 一方面 几何图形中的线段变为有向线段 后可以承载向量 另一方面 向量在坐标系中能够坐标化 从而将几何图形的要素转化为坐 标的运算 与方程和变量找到联系 2 常见几何问题的转化 1 角度问题 若与直线倾斜角有关 则可以考虑转化为斜率k 若需要判断角是锐角还是钝角 则可将此角作为向量的夹角 从而利用向量数量积的符号 进行判定 2 点与圆的
2、位置关系 可以利用圆的定义 转化为点到圆心距离与半径的联系 但需要解出圆的方程 在有些题 目中计算量较大 若给出圆的一条直径 则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定 若点在圆内 ACB 为钝角 再转为向量 0CA CB 若点在圆上 则ACB 为直角 0CA CB 若点在 圆外 则ACB 为锐角 0CA CB 3 三点共线问题 通过斜率 任取两点求出斜率 若斜率相等 则三点共线 通过向量 任取两点确定向量 若向量共线 则三点共线 4 直线的平行垂直关系 可转化为对应向量的平行与垂直问题 从而转为坐标运算 1122 ax ybx y 则 a b共线 1221 x yx y ab 1212 0 x
3、 xy y 5 平行 共线 线段的比例问题 可转化为向量的数乘关系 6 平行 共线 线段的乘积问题 可将线段变为向量 从而转化为向量数量积问题 注意 向量的方向是同向还是反向 3 常见几何图形问题的转化 1 三角形的 重心 设不共线的三点 112233 A x yB x yC x y 则ABC的重心 123123 33 xxxyyy G 2 三角形的 垂心 伴随着垂直关系 即顶点与垂心的连线与底边垂直 从而可转化为 向量数量积为零 3 三角形的 内心 伴随着角平分线 由角平分线性质可知 如 图 IPAC IQAQ I在BAC 的角平分线上 AI ACAI AB APAQ ACAB 4 P是以
4、DA DB为邻边的平行四边形的顶点 DPDADB 5 P是以 DA DB为邻边的菱形的顶点 P在AB垂直平分线上 6 共线线段长度的乘积 若 A B C共线 则线段的乘积 可转化为向量的数量积 从而简化运算 要注意向量的夹角 例如 ACABAC AB ACBCAC BC B CA I Q P A P D B A P D B A B C 二 典型例题 例 1 如图 A B分别是椭圆 22 22 10 xy Cab ab 的左右顶点 F为其右焦点 2是 AFFB的等差中项 3是 AFFB的等比中项 1 求椭圆C的方程 2 已知P是椭圆C上异于 A B的动点 直线l过点A且垂直 于x轴 若过F作直线
5、FQAP 并交直线l于点Q 证明 Q P B三点共线 解 1 依题意可得 0 0 0AaB aF c AFca BFac 2是 AFFB的等差中项 42AFFBacaca 2a 3是 AFFB的等比中项 2 222 3AFFBacacacb 2 3b 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 由 1 可得 2 0 2 0 1 0ABF 设 2AP yk x 设 11 P x y 联立直线与椭圆方程可得 22 2222 3412 431616120 2 xy kxk xk yk x 22 11 22 161268 4343 A kk x xx kk 11 2 12 2 43 k yk x k 2 2
6、2 6812 43 43 kk P kk 另一方面 因为FQAP 1 FQ k k 1 1FQ yx k 联立方程 1 13 2 2 yx Qk k x 2 0B 3 0 3 224 BQ k k k 2 22 2 12 0 123 43 68164 2 43 BP k k k k kkk k BQBP kk B Q P 三点共线 例 2 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的右焦点为F M为上顶点 O为坐标原点 若 OMF的面积为 2 1 且椭圆的离心率为 2 2 1 求椭圆的方程 2 是否存在直线 交椭圆于P Q两点 且使点为 PQM的垂心 若存在 求出直 线 的方程
7、若不存在 请说明理由 解 1 111 222 OMF SOMOFbc 2 2 1 1 2 c ea b c a 1bc 222 2abc 椭圆方程为 2 2 1 2 x y 2 设 11 yxP 22 yxQ由 1 可得 0 1 1 0MF 1 MF k F为 PQM的垂心 MFPQ 1 1 PQ MF k k 设 PQ yxm lF l 由F为 PQM的垂心可得 MPFQ 1122 1 1 MPx yFQxy 1212 110MP FQxxyy 因为 P Q在直线yxm 上 11 22 yxm yxm 代入 可得 1212 110 xxxmxm 即0 1 2 2 2121 mmmxxxx 考
8、虑联立方程 22 22 yxm xy 得02243 22 mmxx 222 1612 2203mmm 12 4 3 m xx 3 22 2 21 m xx 代入 可得 2 2 224 210 33 mm mmm 解得 4 3 m 或1m 当1 m时 PQM不存在 故舍去 当 3 4 m时 所求直线l存在 直线l的方程为 3 4 xy 小炼有话说 在高中阶段涉及到三角形垂心的性质 为垂心与三角形顶点的连线垂直底边 所以对垂心的利用通常伴随着垂直条件 在解析几何中即可转化为向量的坐标运算 或是斜 率关系 例 3 如图 椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的一个焦点是 1 0F O为
9、坐标原点 1 若椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形 求 椭圆的方程 2 设过点F且不垂直x轴的直线l交椭圆于 A B两点 若直线l绕点F任意转动 恒有 222 OAOBAB 求a的取值范围 解 1 由图可得 1 0 3 Mb 由正三角形性质可得 3 63 MF MFOk 1 0 3 3 013 MF b k 3b 222 4abc 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 设 1l yk x 1122 A x yB x y 222 OAOBAB 222 cos0 2 OAOBAB AOB OA OB AOB 为钝角 1212 0OA OBx xy y 联立直线与椭圆方程 2 222222
10、 222222 1 1 yk x b xa kxa b b xa ya b 整理可得 2222222222 20a kbxa k xa ka b 222222 1212 222222 2 a ka ka b xxx x a kba kb 2222 12121212 11y ykxxk x xkxxk 22222222222 222 2222222 2a ka ba kk ba b k kkk a kba kba 222222222 1212 222 0 a ka bk ba b k x xy y a kb 222222222 0a ka bk ba b k 恒成立 即 2222222 kaba
11、 ba b 恒成立 2222 0aba b 22 1ba 222 2110aaa 解得 15 2 a a 的取值范围是 15 2 例 4 设 A B分别为椭圆 22 22 10 xy ab ab 的左 右顶点 椭圆长半轴的长等于焦距 且椭圆上的点到右焦点距离的最小值为1 1 求椭圆的方程 2 设P为直线4x 上不同于点 4 0的任意一点 若 直线 AP BP分别与椭圆相交于异于 A B的点 M N 证明 点B在以MN为直径的圆内 解 1 依题意可得2ac 且到 右焦点距离的最小值为1ac 可解得 2 1ac 3b 椭圆方程为 22 1 43 xy 2 思路 若要证B在以MN为直径的圆内 只需证
12、明MBN 为钝角 即M B P 为锐角 从而只需证明0BM BP 因为 A B坐标可求 所以只要设出AM直线 斜率为k 联 立方程利用韦达定理即可用k表示出M的坐标 从而BM BP 可用 1 k表示 即可判断 BM BP 的符号 进而完成证明 解 由 1 可得 2 0 2 0AB 设直线 AM BN的斜率分别为k 11 M x y 则 2AMyk x 联立AM与椭圆方程可得 22 2 3412 yk x xy 消去y可得 2222 431616120kxk xk 22 11 22 161268 4343 A kk x xx kk AB 4 0 M N P o y x 11 2 12 2 43
13、k ykxk k 即 2 22 6812 43 43 kk M kk 设 0 4 Py 因为P在直线AM上 所以 0 426ykk 即 4 6Pk 2 22 1612 2 6 43 43 kk BPkBM kk 22 222 321240 60 434343 kkk BP BMk kkk MBP 为锐角 MB N 为钝角 M 在以MN为直径的圆内 例 5 如图所示 已知过抛物线 2 4xy 的焦点F的直线l与抛物线 相交于 A B两点 与椭圆 22 33 1 42 yx 的交点为 C D 是否存 在直线l使得AFCFBFDF 若存在 求出直线l的方程 若不存在 请说明理由 解 依题意可知抛物线
14、焦点 0 1F 设 1l ykx AFCFBFDF AFDF BFCF 不妨设 AFDF BFCF 则 AFFB DFFC 设 11223344 A x yB x yC x yD x y 1122 1 1AFxyFBx y 3344 1 1CFxyFDx y 12 34 xx xx 考虑联立直线与抛物线方程 2 2 1 440 4 ykx xkx xy 122 2 122 14 4 xxxk x xx 消去 2 x可得 2 2 1 4k 联立直线与椭圆方程 2 2 22 1 6314 634 ykx xkx xy 整理可得 22 36610kxkx 344 2 2 344 2 6 1 36 1
15、 36 k xxx k x xx k 2 2 2 136 36 k k 由 可得 2 2 2 36 4 36 k k k 解得 2 11kk 所以存在满足条件的直线 其方程为 1yx 例 6 在平面直角坐标系xOy中 已知抛物线 2 20 xpy p 的准线方程为 1 2 y 过点 4 0M作抛物线的切线MA 切点为A 异于点O 直线l过 点M与抛物线交于两点 P Q 与直线OA交于点N 1 求抛物线的方程 2 试问 MNMN MPMQ 的值是否为定值 若是 求出定值 若不 是 请说明理由 解 1 由准线方程可得 1 1 22 p p 抛物线方程 2 2xy 2 设切点 00 A x y 抛物
16、线为 2 1 2 yx yx 切线斜率为 0 kx 切线方程为 000 yyxxx 代入 4 0M及 2 00 1 2 yx 可得 2 000 1 4 2 xxx 解得 0 0 x 舍 或 0 8x 8 32A 4OA yx 设 4PQ xmy M P N Q共线且M在x轴上 11 PQ NN NN PQPQPQ yyMNMN yy yy MPMQyyyyy y 联立PQ和抛物线方程 2 22 42 4 xy myy xmy 整理可得 22 82160m ymy 22 2816 PQPQ m yyyy mm 再联立 OA PQ直线方程 416 414 N yx y xmym 2 2 28 16 2 16 14 PQ N PQ m yyMNMN m y MPMQy ym m 例 7 在ABC中 A B的坐标分别是 2 0 2 0 点G是ABC的重心 y轴上一 点M满足GM AB 且MCMB 1 求ABC的顶点C的轨迹E的方程 2 直线 l ykxm 与轨迹E相交于 P Q两点 若在轨迹E上存在点R 使得四边形 OPRQ为平行四边形 其中O为坐标原点 求m的取值范围 解 1 设 C x y
