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1、1 习 题 五（ A）1、 设 X 为离散型的随机变量，且期望 EX 、方差 DX 均存在，证明对任意 0 , 都有2DXEXXP证明 设 ii pxXP ,.2,1i 则EXxiixXPEXXP iEXxi pEXxi22iii pEXx22= 2DX2、 设随机变量 X 和 Y 的数学期望都是 2，方差分别为 1和 4，而相关系数为 0.5 ，请利用切比雪夫不等式证明：1216YXP 。证 0YXE1,cov DXDYYX325,cov2 YXDYDXYXD121666 2YXDYXEYXPYXP3、 一枚均匀硬币要抛多少次才能使正面出现的频率与 0.5之间的偏差不小于 0.04 的概率不
2、超过 0.01 ？解设 nX 为 n 次抛硬币中正面出现次数，按题目要求，由切比雪夫不等式可得01.004.0 5.05.004.05.0 2nnXP n从而有 1562504.001.025.02n即至少连抛 15625次硬币，才能保证正面出现频率与 0.5的偏差不小于 0.04的概率不超过0.01。4、 每名学生的数学考试成绩 X 是随机变量，已知 80EX ， 25DX ， （ 1）试用切比雪夫不等式估计该生成绩在 70分到 90分之间的概率范围； （ 2）多名学生参加数学考试，要使他们的平均分数在 75分到 85分之间的概率不低于 90%，至少要有多少学生参加考试？解 (1)由切比雪夫
3、不等式 21 DXEXXP 0又 101090709070 EXXPEXEXXEXPXP= 75.01002511080XP即该生的数学考试成绩在 70分到 90分之间的概率不低于 75% (2)设有 n 个学生参加考试 (独立进行 )， 记第 i 个学生的成绩为 iX nii .2, ， 则平均成绩为niiXnX11 ，又 8011niiEXnXE , nDXnXD2512 则由切比雪夫不等式可得：nnnXPXP 1525115808575 2要使上述要求不低于 90%，只需 9.01nn ，解得 10n ，即有 10个以上的学生参加考试，就可以达到要求。5、 设 800台设备独立的工作，它
4、们在同时发生故障的次数 01.0,800 BX ，现由 2名维修工看管，求发生故障不能及时维修的概率。解 iiiiCXPXP 8008002099.001.01212在二项分布表（附表 1）中不能查出。 8np ，使用正态分布近似计算：若使用正态分布近似计算： X近似 92.7,8N , 9834.0132.2132.292.781212 XPXPXP6、 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长来、有 1名家长来、有 2名家长来参加会议的概率分别为 0.05 、 0.8 、 0.15 。若学校共有 400名学生，设每个学生参加会议的家长数相互独立且服从同一分布
5、，求： (1) 参加会议的家长数 X 超过 450的概率； (2) 每个学生有一名家长来参加会议的学生数不多于 340的概率。解 (1) 以 iX 400.2,1i 表示第 i 个学生来参加会议的家长数，则 iX 的分布律为 : iX 0 1 2 ip 0.05 0.8 0.15 所以 1.1iEX ， 19.0iDX ， 400.2,1i而4001iiXX由中心极限定理知： 76,440 NX近似1257.0147.11450XP(2) 以 Y 表示每个学生有一名家长来参加会议的个数，则 8.0,400 BY由中心极限定理知： 64,320 NY近似则 9938.05.2340YP7、 射手
6、打靶得 10分的概率为 0.5， 得 9分的概率为 0.3， 得 8分、 7分和 6分的概率分别 0 .1、 0.05和 0.05，若此射手进行 100次射击，至少可得 950分的概率是多少？解 设 iX 为射手第 i 次射击的得分，则有iX 10 9 8 7 6 ip 0.5 0.3 0.1 0.05 0.05 且1001iiXX ， 15.9iEX ， 95.842EX ， 2275.1DX由中心极限定理得：3 0008.0159.312275.1100 91595019501001iiXP8、 某产品的不合格率为 0.005，任取 10000件中不合格品不多于 70件的概率为多少？解 依
7、题意， 10000件产品中不合格品数 005.0,10000 BX ， 由 50np ， 51 pn ，故可用二项分布的正态近似，所求概率为9977.08355.2005.0150507070XP9、 某厂生产的螺丝钉的不合格品率为 0.01， 问一盒中应装多少只螺丝钉才能使盒中含有 100只合格品的概率不小于 0.95？解 设 n 为一盒装有的螺钉数， 其中合格品数记为 X ， 则有 99.0, nBX ， 该题要求 n ，使得下述概率不等式成立。95.0100XP 或 05.0100XP利用二项分布的正态近似，可得： 645.105.00099.099.0100nn因此， nn 0099.
8、0645.199.0100解得， 19.103n这意味着，每盒应装 104只螺钉，才能使每盒含有 100只合格品的概率不小于 0.95。（ B）1、 为确定一批产品的次品率要从中抽取多少个产品进行检查， 使其次品出现的频率与实际次品率相差小于 0.1的概率不小于 0.95。解：依题意，可建立如下概率不等式95.01.0PPP其中 P 是这实际的次品率， 如抽取 n 个产品则次品的频率nxxxP n.21 ， 由中心极限定理， P 近似服从正态分布：nnPPPN /P1P,0NPP/1, 或从而有 975.0295.0111.0PPn查表可得 ： 96.111.0PPn 或 PPn 16.19由
9、于 P 未知，只得放大抽检量，用 1/2代替 PP 1 ，可得： 8.9n96n ，可见，需抽查 96个产品才能使其次品率与实际次品率相差 0.1小于的概率不小于0.95。2、 假设批量生产的某产品的优质品率为 60%， 求在随机抽取的 200 件产品中有 120 到 150件优质品的概率 解 记 n 随机抽取的 200 件产品中优质品的的件数， 则 n 服从二项分布， 参数为 n=200，p=0.60； 48)1(120 pnpnp ， 由于 n=200 充分大，故根据棣莫佛 - 拉普拉斯中心极限定理，近似地4 ；5.0)0()33.4(33.4048120150481200150120)1,0(48120)1(nnnnnnUNpnpnpUPPP3、 设随机变量 X 服从参数为 的泊松分布， nXXX , 21 是独立与 X 同分布随机变量，证明：对任意 0 ，都有0)(1lim 212nkin XnP证明 由于 nXXX , 21 独立同泊松分布，可见 22221 , nXXX 也独立同分布，而且数学期望存在：222 )(iii XXX EDE 因此，根据辛钦大数定律，有0)(1lim 212nkin XnP
