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1、利用圆锥曲线定义求最值教案教学目标1通过对一个习题及其引申问题的求解，使学生掌握利用圆锥曲线的定义求解有关最值问题的方法2通过对问题的不断引申，精心设问，引导学生学习解题的一般方法及联想、类比、猜测、证明等合情推理与逻辑推理方法，培养学生思维的深刻性、创造性、科学性与批准性提高学生分析综合能力及探索发现能力3通过营造民主、开放的课堂教学氛围，培养学生敢想、敢说、坚韧不拔的意志及勇于探索、发现、创新的精神等个性品质教学重点与难点巧用圆锥曲线的定义求有关线段长之和的最值既是重点又是难点教学过程师：我们已经学习了椭圆、双曲线、抛物线的有关概念、标准方程、图形和性质现在我想请三位同学分别回忆一下椭圆、
2、双曲线、抛物线的定义生 1：平面内与两定点 F1、F 2距离之和等于常数 2a(2a|F 1F2|)的动点的轨迹称为椭圆生 2：平面内与两定点的距离之差的绝对值等于常数 2a(2a|F 1F2|)的动点的轨迹称为双曲线生 3：平面内与一个定点及一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线师：生 1、生 2、生 3 的回答都是正确的对于圆锥曲线，除了刚才说的定义以外，还有别的定义方式吗？生 4：还有第二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比等于常数 e(e0)的点的轨迹是椭圆(0e1 时)、双曲线(e1 时)或抛物线(e=1 时)师：很好！圆锥曲线的定义揭示了圆锥曲线中最原始、最本质
3、的数量关系，它有着广泛的应用，本节课我们将利用圆锥曲线定义求解几个最值问题(板书)例已知动圆 A 过定圆 B：x 2+y2+6x-7=0 的圆心 B，且与定圆 C：x 2+y2-6x-55=0 相内切，求ABC 面积的最大值师：本题欲求结果是什么？据此你联想到些什么？生 5：求 ABC 的最大面积，应联想：三角形面积公式师：请回忆，三角形面积怎样表示？师：你们准备选用哪一个公式？请简要说明理由生 6：选第一个公式这是因为 B、C 都是定圆圆心，故它们都是定点，因此 BC 是定长，这样只须求出 BC 边上高的最大值就可以了，而第二组面积表示式中的 3 个公式中除了 BC 边的长即 a 不变以外，
4、其余的边和角都在变，不易求面积师：有道理，下面我们就按生 6 的方案来求解关键的问题是 BC 边上的高的最大值怎么求？请大家思考生 7：由于圆 A 运动，所以 BC 边上的高随圆 A 的运动而变化，从而导致ABC 面积的变化，因此如果先求出 A 的轨迹，那么就不难求出 BC 边上高的最大值了师：(赞许地)很好！那么如何求 A 的轨迹呢？生 8：(师板书)将两已知圆配方得B：(x+3) 2+y2=16C：(x-3) 2+y2=64所以 B(-3，0)，C(3，0)C 的半径 r=8画出C 与A 相内切的图形(如图 2-64)，利用两圆内切的性质及椭圆的定义可判定 A 的轨迹是椭圆师：能说得具体些
5、吗？生 8：设已知圆 C 与动圆 A 内切于点 P，则 P、A、C 必在同一条直线上，且|PC|=8因为|AP|=|AB|，所以|AB|+|AC|=|AP|+|AC|=|PC|=8所以点 A 的轨迹是椭圆师：生 8 仅根据|AB|+|AC|=8，就判断 A 的轨迹是椭圆，对吗？生 9：基本正确，但应说明|AB|+|AC|BC|生 8：对了，|AB|+|AC|=86|BC|所以，点 A 的轨迹是椭圆师：很好！我们已经确认点 A 的轨迹是椭圆，现在该如何确定ABC 面积的最大值呢？生 10：当ABC 的高等于椭圆的短半轴长时，高最大，从而 S ABC 最大师：同学们是否赞同生 10 的判断？生：(
6、有的赞同，有的相互小声议论)师：让我们借助于计算机演示一下点 A 的运动过程，请同学们认真观察 A运动到什么位置时，ABC 底边 BC 上的高最大(计算机演示动画如图 2-65)生：(几乎是异口同声地)当|OA|等于短半轴长时，高最大师：哪位同学能快速地求出ABC 中 BC 边上高的最大值？师：怎么得到的？请介绍给同学们听听生：显然 BC 是椭圆的两焦点，故 c=3又 2a=8，师：生 11 不但求出了 BC 边上高的最大值，而且还求出了ABC 的最大面积，使我们的问题获得了解决这里同学们把平面几何与解析几何知识有机地结合了起来，利用椭圆定义对点 A 的轨迹作出了正确的判断，从而使问题的求解势
7、如破竹显然，广泛联系，巧用定义，在本题求解中起着至关重要的作用师：现在在例题的条件下，我们将问题作如下引申：引申 1：设点 A 的轨迹为 Q，M(2，1)为定点求|AM|+|AC|的最小值师：这是一个什么问题？生 12：求最小值问题，确切地说是求动点 A 到两定点 C、M 的距离之和的最小值师：不错！那么如何求|AM|+|AC|的最小值呢？生：(似乎一时束手无策)师：(启发一下)点 C 在椭圆内，点 A 在椭圆上，那么点 M 相对于椭圆的位置又是怎样的呢？(片刻后)生 13：我想先求出 Q 的方程，画出 Q 的图形及点 M 位置，如果点 M 在 Q 外，那么由三角形两边之和大于第三边知(|AM
8、|+|AC|) 最小 =|MC|师：生 13 给出了求解问题的基本思路，我们请生 13 具体说说点 M(2，1)在 Q 内(如图 2-66)(|AM|+|AC|)最小 =(一时语塞)师：前面生 13 曾经就 M 在 Q 外时由三角形两边之和大于第三边判定(|AM|+|AC|)最小 =|MC|，这里，偏偏点 M 在 Q 内，怎么解决？生 14：可以利用椭圆定义并结合三角形两边之和大于第三边的结论来求解只须连 MB、AB(如图 2-67)，那么|BM|+|AM|+|AC|AB|+|AC|=2a，所以|AM|+|AC|2a-|BM|(*)(生 14 叙述，师板书)师：生 14 巧用了椭圆定义及三角形
9、的性质，使问题处理得干脆利落但是一般说来三角形两边之和大于第三边，那么这里的等号成立吗？生 13：当点 A 在 BM 的延长线上时取等号(如图 2-68)师：很好！生 13 和生 14 的意见结合起来，解答就严密了事实上当 A 在BM 的延长线上时，ABM 已退化为一条线段 AB(M 在 AB 上)，此时(*)式等号成立(师随即在(*)式后添上“当 A 在 BM 的延长线上时取等号”一句)生 15：上述问题是解决了，但我想到了一个新问题，|AM|+|AC|是否有最大值？师：生 15 的问题很值得思考，大家可以分析研究相互讨论，大胆发表自己的见解(生 15 的问题激起了学生们新的思维波澜，学生有
10、的画图分析，有的讨论研究，课堂上洋溢着民主开放的气氛)生 16：我想是否可以利用椭圆定义并结合三角形两边之差小于第三不一定出自学习成绩突出者，而常常出自思维活跃且胆大者)师：(欣喜地)能说说你的具体想法吗？生 16：联想到刚才我们用椭圆定义及三角形两边之和大于第三边求师：大胆合理的猜想往往是获得重大发现的前奏，同学们不妨都来猜一猜生：(片刻后绝大多数同学)同意生 16 的猜想师：那么，就请同学们来验证这个猜想吧！肯定与否都要说明理由生 17：如图 2-67，|AM|+|AC|=|AM|+(2a-|AB|)=2a+(|AM|-|AB|)因为|AM|-|AB|BM|(当点 A 在 MB 的延长线上
11、时取等号)，师：非常好！生 15 为我们提出了一个值得思考的问题，生 16 通过联想对问题的解法及结果作出了大胆的猜想，而生 17 从理论上给出了严格的证明，三位同学相得益彰，使问题的解决一气呵成，我为同学们祝贺，大家还有新的问题吗？(鼓励学生提出问题，即使是事先未估计到的问题，并通过大胆地猜想，严格地证明，使问题得到满意的解决，这对于培养学生的发现能力，创新精神及实事求是的科学态度无疑是十分有益的)生：(互相观望)似乎不再有什么问题师：我再提一个问题(一石激起千层浪，学生思维的平湖上又一次荡起层层波澜)生：(议论纷纷)师：这里的结论与引申 1 作比较有何异同？师：还能挖掘出某些相关的因素吗？
12、生：(一时想不出)师：|AC|是椭圆 Q 上的点 A 到右焦点 C 的距离，它的系数是离心率的倒数，涉及到焦半径，离心率，你有何新的联想？生 19：联想到椭圆第二定义师：能具体说说吗？生 19：(其余学生似乎也无从下手)师：利用椭圆第二定义，除了要有离心率、点 A 的焦半径以外，还l 于 D(如图 2-69)，(师边叙述边板书)因此，问题转化为求|AM|+|AD|的最小值了，这个最小值是什么呢？生 19：应当是点 M 到准线 l 的距离师：涉及到圆锥曲线上的点到焦点的距离(即焦半径)及离心率问题，联想第二定义是很自然的，这里不妨再提出一个问题引申 3：将例题中的条件改为“动圆 A 与定圆 B、
13、定圆 C 都内切，且B、C 在A 内师：大家见过与本题相仿的问题吗？能拟出一个大体的求解方案吗？生 20：第一个问题与前面的例题类似，只是需要求出 Q 的方程所以可利用动圆 A 与定圆 B、定圆 C 都内切的性质，或许也要用到圆锥曲线的定义来求解求出了 Q 的方程后，第(2)个问题就与引申 2 类似了，我想也可以利用圆锥曲线的第二定义求解师：有道理！同学们能否根据(2)中欲求结论，并将其与引申 2 中的结构作比较，猜想点 A 的轨迹 Q 是什么曲线？生：(小声议论)师：生 21 猜想 A 的轨迹 Q 是双曲线，同学们以为这个猜想合乎情理吗？生：合乎情理师：生 21 的猜想很有见地，大家支持了这
14、个猜想，使得我们解决问题信心倍增然而猜想是有风险的，应该进行严格的推理才能确信，请大家自己动手求出 Q 的方程，并请生 21 板演(师巡视指导，生 21 板演)解 (1)已知定圆即B：(x+3) 2+y216，C：(x-3) 2+y2=64，设动圆 A 与B、C 分别切于点 D、E，由于B、C 在A 内，故 D、E分别在 AB、AC 的延长线上(如图 2-70)因为|AB|-|AC|=|(|AD|-|BD|)-(|AE|-CE|)|=|CE|-|BD|=|8-4|=46=|BC|，所以点 A 的轨迹 Q 是以 B、C 为两焦点的双曲线由于 2a=4，所以 a=2又 2c=6，故 c=3，因此
15、b2=c2-a2=5，所以师：生 21 已经求出了 Q 的方程，除少部分同学未做出以外，座位上相当一部分同学也获得了结果现在我们一起来评判一下这一结果是否正确，请生 21先作一下解法说明生 21：我们已经猜想点 A 的轨迹是双曲线，画出图形后很自然地想到考察|AB|-|AC|是否是定值，并检验它是否小于两定点间的距离|BC|，通过推算获得|AB|-|AC|=46=|BC|，由双曲线定义知点 A 的轨迹是双曲线，由于焦点B、C 在 x 轴上，且关于原点对称，因此方程应是标准型而 a2=4，b 2=5，生 22：我认为生 21 的解法思路是对的，但结果不对正确地说，师：生 22 提出了不同意见，请
16、你说说理由生 22：|AD|=|AE|，|BD|=46=|CE|，所以|AD|-|BD|AE|-|CE|即|AB|AC|，所以点 A 的轨迹只是双曲线右支，即应补上条件x2(生 22 叙述，师板书)师：生 21 的意见呢？生 21：生 22 的结论是对的，我当时只考虑双曲线定义中“差的绝对值”这句话，而这里的|AB|-|AC|中的外层绝对值实际上是不起作用的因此，只能是双曲线的右支师：其他同学还有不同意见吗？生：没有师：生 21 为我们作出了很好的开端，生 22 的补充是必要的，要判断一个方程是否是曲线的方程，必须具备两个条件，曲线上的点的坐标都是这个方程的解(纯粹性)，以这个方程的解为坐标的点都
