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1、初中数学培优专题- 1 -11、三角形及有关概念【知识精读】1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。2. 三角形中的几条重要线段：（ 1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心）（ 2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心）（ 3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心）3. 三角形的主要性质（ 1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边；（ 2）三角形的内角之和等于 180（ 3） 三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角， 等于和它不相邻的两个内角的和；（ 4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角；（ 5）三角形
2、具有稳定性。4. 补充性质：在 ABC 中， D 是 BC 边上任意一点， E 是 AD 上任意一点，则S S S SABE CDE BDE CAE 。AB CDE三角形是最常见的几何图形之一， 在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。 三角形又是多边形的一种， 而且是最简单的多边形， 在几何里， 常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。 实际上对于一些曲线， 也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。 因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。5. 三角形边角关系、性质的应用【分类解析】初中数学培优专题- 2 -例 1. 锐角三角形 AB
3、C 中， C 2 B，则 B 的范围是（ ）A. 10 20 B B. 20 30 BC. 30 45 B D. 45 60 B分析：因为 ABC 为锐角三角形，所以 0 90 B又 C 2 B， 0 2 90 B0 45 B又 A 为锐角， A B C180 为锐角 B C 903 90 B ，即 B 3030 45 B ，故选择 C。例 2. 选择题：已知三角形的一个外角等于 160，另两个外角的比为 2:3，则这个三角形的形状是（ ）A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法确定分析： 由于三角形的外角和等于 360，其中一个角已知，另两个角的比也知道，因此三个外角
4、的度数就可以求出，进而可求出三个内角的度数，从而可判断三角形的形状。解： 三角形的一个外角等于 160另两个外角的和等于 200设这两个外角的度数为 2x， 3x 2 3 200x x解得： x 402 80 3 120x x，与 80相邻的内角为 100这个三角形为钝角三角形应选 C 例 3. 如图，已知：在 ABC 中， AB AC12，求证： C B12。初中数学培优专题- 3 -AEB CF分析： 欲证 C B12 ， 可作 ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E， 只要证 C EBC即可。为与题设 AB AC12联系，又作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F。显然 EBC F，只
5、要证 C F 即可。由 AF AB AC2 可得证。证明：作 ABC 的角平分线 BE 交 AC 于 E，过点 A 作 AF/BE 交 CB 的延长线于 F AF BE F EBC FAB ABE/ / ， ， 又 BE 平分 ABC ， EBC ABE F FAB ， AB BF 又 AB FB AF ，即 2AB AF 又 AB AC AC AF12， F C ，又 F ABC12 C B12例 4. 已知： 三角形的一边是另一边的两倍。 求证： 它的最小边在它的周长的 16 与 14 之间。分析： 首先应根据已知条件， 运用边的不等关系， 找出最小边， 然后由周长与边的关系加以证明。AB
6、 Cabc证明： 如图，设 ABC 的三边为 a、 b、 c，其中 a c2 ，b a c a c， 2b c因此， c 是最小边， b c3初中数学培优专题- 4 -因此， a b c c c c2 3 ，即 c a b c16 ( )1614( ) ( )a b c c a b c故最小边在周长的 16 与 14 之间。中考点拨：例 1. 选择题：如图是一个任意的五角星，它的五个顶角的和是（ ）A. 50 B. 100 C. 180 D. 200 ABC DEG F分析： 由于我们学习了三角形的内角、 外角的知识， 所以需要我们把问题转化为三角形角的问题。解： ， C E AGF B D
7、AFG A B C E D A A G F AFG 180所以选择 C 例 2. 选择题：已知三角形的两边分别为 5 和 7，则第三边 x 的范围是（ ）A. 大于 2 B. 小于 12 C. 大于 2 小于 12 D. 不能确定分析： 根据三角形三边关系应有 7 5 7 5x ，即 12 2x所以应选 C 例 3. 已知： P 为边长为 1 的等边 ABC 内任一点。求证： 32 2PA PB PCAE FB CP初中数学培优专题- 5 -证明： 过 P 点作 EF/BC ，分别交 AB 于 E，交 AC 于 F，则 AEP ABC 60 EAP EAFAPE6060在 AEP中， ， ，A
8、PE AEP AE APAFE ACB AEF60 60AEF 是等边三角形AF EFAE APBE EP BPPF FC PCAE EB EP PE FC AP BP PCAB EF FC AP BP PCAB AF AC AP BP PCPB PA PC AB AC 2PA PB ABPB PC BCPC PA ACPA PB PC AB BC ACPA PB PC2 32 32题型展示：例 1. 已知：如图，在 ABC 中， D 是 BC 上任意一点， E 是 AD 上任意一点。求证：（ 1） BEC BAC ；（ 2） AB AC BE EC。AB CDEF分析： 在 （ 1） 中，
9、利用三角形内角和定理的推论即可证出在 （ 2） 中， 添加一条辅助线，初中数学培优专题- 6 -转化到另一个三角形中，利用边的关系定理即可证出。证明： （ 1） BED 是 ABE 的一个外角， BED BAE同理， DEC CAE BED DEC BAE CAE即 BEC BAC（ 2）延长 BE 交 AC 于 F 点AB AF BE EFEF FC ECAB AF EF FC BE EF EC又即 AB AC BE EC例 2. 求证：直角三角形的两个锐角的相邻外角的平分线所夹的角等于 45。已知：如图，在 ABC中， C EAB ABD90 ， 、 是 ABC 的外角， AF、 BF分别
10、平分 EAB 及 ABD 。求证： AFB 45A BCE DF分析： 欲证 AFB 45 ，须证 FAB FBA 135 AF、 BF 分别平分 EAB 及 ABD 要转证 EAB ABD 270又 C 90，三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角之和问题得证证明： EAB ABC C ABD CAB C 初中数学培优专题- 7 - ABC C CAB 180， C 90 EAB ABD ABC C CAB C 180 90 270 AF、 BF 分别平分 EAB 及 ABD FAB FBA EAB ABD12 12 270 135在 ABF 中， AFB FAB FBA180 45【实战模
11、拟】1. 已知：三角形的三边长为 3， 8， 1 2x ，求 x 的取值范围。2. 已知： ABC 中， AB BC ， D 点在 BC 的延长线上，使 AD BC ， BCA ，CAD ，求 和 间的关系为？ABCD3. 如图， ABC 中， ABC ACB、 的平分线交于 P 点， BPC 134 ， 则 BAC（ ）A. 68 B. 80 C. 88 D. 46AB CP4. 已知：如图， AD 是 ABC 的 BC 边上高， AE 平分 BAC 。求证： EAD C B12初中数学培优专题- 8 -AB CDE5. 求证：三角形的两个外角平分线所成的角等于第三个外角的一半。【试题答案】
12、1. 分析： 本题是三边关系的应用问题，只需用三边关系确定第三边的取值范围即可。解： 三边长分别为 3， 8， 1 2x ，由三边关系定理得：5 1 2 11x4 2 102 5xx2. 解： AB BC BCA BAC，又 AD BC AD AB，D B ，又 BCA D BD B，根据三角形内角和，得：2 1803 1803. 解： BPC 134PBC PCB 46又 BP、 CP 为 B、 C 的平分线初中数学培优专题- 9 - ， PBC ABC PCB ACBPBC PCB ABC ACBABC ACBBAC ABC ACB1212122 46 92180 884. 证明： EAD
13、 EAC CAD AE 平分 BAC ， EAC BAC12又 AD BC， ADC 90 CAD C90又 BAC B C180 EAD BAC CADB C CC B1212 180 901212 EAD C B125. 证明： 如图，设 ABC 的 BAC 和 ABC 的外角平分线交于点 D EABDC G FAB ABC ACBEBA BAC ACB初中数学培优专题- 10 - DAB DBAFAB EBAABC BAC ACB1212则 ADB DAB DBA180 ABC ACB BAC ABC BAC ACBABC BAC1212又 12 12 ACG ABC BAC A D B A C G12 。
