等值线的三维曲面重建技术

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1、!#$!% 计 算 机 工 程 与 应 用& 引 言在 二 维 数 据 场 的 可 视 化 技 术 中 ， 由 二 维 等 值 线 或 一 组 轮 廓线 重 建 三 维 曲 面 模 型 的 技 术 有 着 广 泛 的 应 用 前 景 。 例 如 在 医 学数 据 可 视 化 中 ， 需 要 在 ( 扫 描 每 层 图 像 上 勾 画 出 轮 廓 线 ， 再由 二 维 轮 廓 线 重 构 出 曲 面 模 型 来 表 示 三 维 形 体)&*； 在 地 形 数 据的 可 视 化 处 理 上 ， 输 入 的 数 据 往 往 是 一 系 列 二 维 等 高 线 ， 再 通过 二 维 等 高 线 重 构

2、 出 具 有 光 照 效 果 的 三 维 地 形 图 是 十 分 常 见的 做 法 。从 一 组 平 行 的 平 面 轮 廓 线 重 建 三 维 形 体 的 技 术 经 过 几 十年 的 发 展 已 经 比 较 成 熟 ， 但 在 轮 廓 的 对 应 和 拼 接 以 及 对 分 叉 情况 的 处 理 方 面 尚 未 尽 人 意 。 基 于 二 维 模 型 的 三 维 重 建 技 术 的 关键 就 在 于 解 决 了 相 邻 两 轮 廓 线 间 的 对 应 问 题 以 及 分 支 问 题 。 如图 & 所 示 ， 层 & 中 两 条 轮 廓 线 如 何 与 层 ! 中 一 条 轮 廓 线 相 对

3、应 ， 如 何 确 定 层 & 和 层 ! 间 拓 扑 结 构 是 至 关 重 要 的 。 在 这 里 ， 同一 层 上 的 轮 廓 线 不 能 相 交 。图 & 相 邻 两 层 轮 廓 线 的 拓 扑 关 系目 前 常 用 的 算 法 是 假 设 轮 廓 线 间 的 间 隔 很 密 ， 层 与 层 之 间距 离 很 小 ， 这 样 就 可 以 利 用 两 条 轮 廓 线 之 间 的 相 互 覆 盖 来 决 定它 的 拓 扑 结 构 ， 使 相 邻 的 两 条 轮 廓 线 相 互 连 接 成 若 干 个 三 角 面片 来 近 似 空 间 曲 面 （ 如 图 !（ +） 所 示 ） 。 但 是

4、， 如 果 轮 廓 线 间 距 太大 就 需 要 在 两 条 轮 廓 线 间 通 过 插 值 来 求 出 一 条 或 几 条 轮 廓 线 ，然 后 再 进 行 三 角 剖 分 。 图 !（ ,） 所 示 的 虚 线 就 是 插 值 计 算 求 得的 轮 廓 线 。 否 则 ， 会 引 起 剧 烈 的 曲 面 起 伏 ， 也 无 法 得 到 良 好 的 光照 效 果 。 但 对 于 在 两 条 等 值 线 间 插 入 一 条 新 的 等 值 线 是 很 困 难且 麻 烦 的 ， 有 时 候 还 必 须 考 虑 等 值 线 的 走 向 ， 并 通 过 人 机 交 互的 方 式 进 行)!， #*。

5、（ +） （ ,）图 ! 层 间 的 拓 扑 结 构针 对 这 种 情 况 ， 笔 者 结 合 科 研 课 题 的 实 际 需 要 ， 提 出 了 一种 新 的 三 维 模 型 的 重 建 方 法 。 该 方 法 不 考 虑 等 值 线 的 走 向 及 轮廓 线 的 对 应 关 系 ， 而 把 它 们 当 作 无 组 织 ， 无 结 构 的 点 集 来 重 建三 维 图 形 。 从 这 样 一 个 点 集 来 重 建 三 维 物 体 更 具 有 一 般 性)-*。! 方 法 综 述首 先 ， 将 一 系 列 等 值 线 数 据 看 做 平 面 上 的 散 乱 的 数 据 点 ，并 将 这 些

6、数 据 点 网 格 化 ， 网 格 的 多 少 可 以 控 制 空 间 曲 面 的 精 度与 光 滑 程 度 ； 然 后 ， 将 这 些 网 格 进 行 三 角 剖 分 ； 最 后 再 利 用 剖 分等 值 线 的 三 维 曲 面 重 建 技 术郑 文 刚 赵 春 江 王 纪 华（ 国 家 农 业 信 息 化 工 程 技 术 研 究 中 心 ， 北 京 &%.）/01+23： 4567898:76;8$7+3 /782766;278 C6D6+; F7E;1+=27 (638G 27 8;2K E; ;67+3 DH;E+1 =90K2167D27+3 2D3276 2D L;6D67=6K$

7、M2=5H= 7 E 2D3276 +7K 7K278 ;63+=27 E H; 3276， =52D L+L6; =+O6D 2= +D 27;8+724+=27 +7KD27=D = ;67+3 DH;E+9 =5+= =52D 16=5K 2D 6EE67 9;O +7K 382K63D$#?&*/： FD3276， (5;66 K2167D27 DH;E+7， S27=D基 金 项 目 ： 国 家 %?# 高 技 术 研 究 发 展 计 划 （ 编 号 ： !&!-T!）作 者 简 介 ： 郑 文 刚 （ &.TU0） ， 男 ， 博 士 ， 主 要 研 究 方 向 为 图 形 处 理

8、 ， 数 据 可 视 化 等 。 赵 春 江 ， 教 授 ， 博 士 生 导 师 。 王 纪 华 ， 教 授 ， 博 士 生 导 师 。!?计 算 机 工 程 与 应 用 !#$!%的 三 角 面 片 来 重 建 三 维 空 间 曲 面 。 在 曲 面 重 建 过 程 中 ， 影 响 其效 率 和 精 度 的 主 要 是 网 格 化 和 三 维 曲 面 的 显 示 过 程 。 下 面 ， 仅就 三 维 模 型 重 建 技 术 中 的 等 值 线 的 网 格 化 和 空 间 曲 面 重 建 的形 成 这 两 个 关 键 步 骤 做 一 下 详 细 叙 述 。!$& 等 值 线 的 网 格 化散

9、乱 数 据 点 的 网 格 化 已 经 有 许 多 成 型 的 方 法()， 常 用 的 有*+, 法 （ 距 离 加 权 法 ） ， 趋 势 面 法 和 加 权 最 小 二 乘 法 等 。 趋 势 面法 在 整 个 空 间 均 采 用 一 个 多 项 式 ， 精 确 度 很 低 ， 不 适 宜 做 准 确等 值 线 。 *+, 方 法 只 考 虑 网 格 最 近 ! 个 数 据 点 ， 这 ! 个 数 据 点对 网 格 点 的 影 响 与 距 离 有 关 ， 距 离 越 近 ， 影 响 越 大 ， 否 则 影 响 越小 ， 对 于 分 布 不 均 匀 或 网 格 点 附 近 无 点 或 点

10、太 少 的 情 况 下 ， 误差 很 大 。 而 加 权 最 小 二 乘 法 具 备 了 *+, 法 和 趋 势 面 方 法 的 优点 ， 考 虑 所 有 点 对 网 格 点 的 影 响 系 数 ， 对 应 不 同 的 网 格 点 ， 假 定它 符 合 一 个 二 次 多 项 式（ #， $） %&-&!#&#$&.#$&(#!-&/$!（ &）利 用 最 小 二 乘 法 尽 可 能 的 拟 合 数 据 点 。 与 通 常 意 义 下 的 最小 二 乘 法 不 同 的 是 要 求 靠 近 网 格 点 的 数 据 点 比 远 离 的 数 据 点有 更 大 的 权 数 ， 就 是 寻 找 系 数

11、&(（ (0&， ! /） 使)0*(%&!（ #(， $(） +()!,（ #(-.）!-（ $(-/）!) （ !）最 小 ， 式 中 ,（ #(-.）!-（ $(-/）!)就 是 权 ， 是 距 离 的 函 数 ， 取,（ #(-.）!-（ $(-/）!)0&（ #(-.）!-（ $(-/）!)!， 当 （ .， /） 接 近 （ #(， $(） 时 ，它 的 值 比 较 大 ， 而 在 远 离 时 ， 它 的 值 比 较 小 。 要 使 ) 最 小 ， 按 最小 二 乘 原 理 则 有!)!&(0， 因 此 可 以 得 到 下 列 的 正 则 方 程 ：!)!&0!(%&!（ （ #(

12、， $(） +(） ,%!)!&!0!(%&!（ （ #(， $(） +(） ,#(%!)!�!(%&!（ （ #(， $(） +(） ,$(%!)!&.0!(%&!（ （ #(， $(） +(） ,#($(%!)!&(0!(%&!（ （ #(， $(） +(） ,#!(%!)!&/0!(%&!（ （ #(， $(） +(） ,$!(%求 解 该 方 程 组 就 可 以 得 到 （ #(， $(） 的 系 数 ， 代 入 式 （ &） 就 可以 求 出 网 格 点 的 值 。加 权 最 小 二 乘 方 法 对 计 算 机 性 能 要 求 比 较 高 ， 在 点 数 太 多时 候 不 适 用

13、 。 在 立 体 图 形 的 梯 度 变 化 比 较 剧 烈 的 情 况 下 ， 由 于要 处 理 的 散 乱 数 据 点 比 较 多 ， 运 用 加 权 最 小 二 乘 方 法 速 度 比 较慢 。 为 此 ， 笔 者 采 用 了 多 种 方 法 相 结 合 的 方 案 来 解 决 网 格 化 的效 率 问 题 。 提 出 一 个 决 定 参 数 !， 并 判 断 网 格 点 附 近 散 乱 点 的数 量 0， 如 果 0 小 于 !， 就 采 用 加 权 最 小 二 乘 方 法 ， 否 则 就 采用 距 离 加 权 方 法 。 ! 取 值 不 能 太 大 ， 太 大 影 响 计 算 速 度

14、 ； 太 小 ，又 影 响 计 算 精 度 。 根 据 笔 者 的 经 验 取 !0/， 从 下 边 的 例 子 表 明笔 者 提 出 的 这 种 综 合 法 的 处 理 速 度 比 采 用 加 权 最 小 二 乘 方 法有 明 显 提 高 。!$! 空 间 曲 面 的 形 成在 计 算 机 图 形 学 和 计 算 可 视 化 中 ， 三 维 空 间 曲 面 的 描 述 基本 都 是 采 用 三 角 面 片 逼 近 的 方 法 ， 要 得 到 逼 真 的 三 维 空 间 曲面 ， 必 须 要 有 光 照 效 果 。 光 照 对 于 三 维 真 实 感 图 形 的 显 示 是 十分 重 要 的

15、。 如 果 没 有 光 照 所 制 作 的 图 形 就 没 立 体 感 ， 和 二 维 图形 基 本 没 有 区 别 。 法 向 量 决 定 对 象 的 顶 点 可 以 接 收 多 少 光 照 ，如 果 没 有 法 向 量 ， 整 个 空 间 曲 面 就 不 平 滑 ， 显 得 特 别 粗 糙 ， 不 能很 好 的 显 示 物 体 的 细 节 。 法 向 量 求 解 是 三 维 空 间 曲 面 的 一 个 重要 环 节 。在 程 序 中 ， 该 三 维 曲 面 是 由 许 多 小 小 的 三 角 形 面 片 组 成的 。 因 此 ， 给 出 三 角 形 三 个 顶 点 1&， 1!， 1#再

16、计 算 叉 积 1&+1!)11!+1#)， 最 后 将 其 单 位 化 ， 就 可 以 求 得 多 边 形 的 单 位 法 向 量 （ 如图 # 所 示 ） 。 然 后 ， 再 根 据 法 向 量 求 出 每 个 三 角 形 面 片 的 光 照 强度 ， 就 可 以 产 生 具 有 明 暗 光 照 效 果 的 三 维 空 间 曲 面 。图 # 求 法 向 量 示 意 图在 求 三 维 曲 面 光 照 的 时 候 ， 为 了 提 高 效 率 ， 没 有 自 己 进 行计 算 ， 而 是 采 用 了 234567 来 进 行 光 照 的 计 算 。 234567 中 的 光照 是 真 实 光 照 的 一 种 逼 近 ， 它 是 一 种 高 效 的 算 法 ， 且 可 以 处 理多 个 光 源 。 这 里 采 用 的 是 有 限 远 的 点 光 源 ， 该 光 源 还 可 以 在 曲面 的 上 方 进 行 旋 转/