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1、2019-2020年高中数学 第一章集合期末知识梳理 新人教A版必修1一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。（3）元素的无序性: 集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示： （1）用大写字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）
2、集合的表示方法：列举法与描述法。a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,cb、描述法：区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。xR| x-32 ,x| x-32语言描述法：例：不是直角三角形的三角形Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： （1）元素在集合里，则元素属于集合，即：aA （2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：aAu 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+
3、整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：（或B）注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA（2）.“包含”关系（2）真子集如果集合，但存在元素xB且xA，则集合A是集合B的真子集如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)读作A真含与B（3）“相等”关系：A=B “元素相同则两集合相等”如果AB 同时 BA 那么A=B（4）. 不含任何元
4、素的集合叫做空集，记为规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。（5）集合的性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB, BC ,那么 AC如果AB且BC，那么AC有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集题型1：集合元素的基本特征例1定义集合运算：设，则集合的所有元素之和为（ ）A0；B2；C3；D6解题思路根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素解析：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D 【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即
5、可，但要特别注意集合元素的互异性。 例2数集与之的关系是（ ）A；B； C；D解题思路可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。解析 从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。例3(山东高考改编）定义集合运算:,设集合,则集合的所有元素之和为 解析18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为187、集合的运算运算类型交 集并
6、 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB=x|xA，或xB)全集：一般，若一个集合汉语我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，CSA=韦恩图示性 质A A=A A =A B=BAA BAA BBA U A=A A U =AA U B=B U A A U BA U BB(CuA)(CuB)=
7、Cu(AUB)(CuA) U (CuB)= Cu(AB)AU(CuA)=UA(CuA)=（1） 若，求实数的值；（2）若，求实数的取值范围若，解题思路对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。解析因为，（1）由知，从而得，即，解得或当时，满足条件；当时，满足条件所以或（2）对于集合，由因为，所以当，即时，满足条件；当，即时，满足条件；当，即时，才能满足条件，由根与系数的关系得，矛盾故实数的取值范围是【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.新题导练 例5若集合
8、，则是（ ）A. ；B. ；C.；D. 有限集解析 A；由题意知，集合表示函数的值域，故集合；表示函数的值域，故练1已知集合，那么集合为（ ）A.；B.；C.；D.解析D；表示直线与直线的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。练2集合,且,求实数的值.解析 ；先化简B得, .由于,故或.因此或,解得或.容易漏掉的一种情况是: 的情形,此时.故所求实数的值为.二、函数的概念1 函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA（1）其中，x叫
9、做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域2 函数的三要素：定义域、值域、对应法则3 函数的表示方法：（1） 解析法：明确函数的定义域（2） 图想像：确定函数图像是否连线，函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等。（3） 列表法：选取的自变量要有代表性，可以反应定义域的特征。4、函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f
10、(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . (2) 画法A、描点法： B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换，即平移。 （3）函数图像平移变换的特点： 1）加左减右只对x 2）上减下加只对y 3）函数y=f(x) 关于X轴对称得函数y=-f(x)4）函数y=f(x) 关于Y轴对称得函数y=f(-x)5）函数y=f(x) 关于原点对称得函数y=-f(-x)6）函数y=f(x) 将x轴下面图像翻到x轴上面去，x轴上面图像不动得函数y=| f(x)|7）函数y=f(x) 先作x0的图像，然后作关于y轴对称的图像得函数f(|x|)例6 试判断以下
11、各组函数是否表示同一函数？（1），；（2），（3），（nN*）；（4），；（5），解题思路要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。解析 （1）由于，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.（2）由于函数的定义域为，而的定义域为R，所以它们不是同一函数.（3）由于当nN*时，2n1为奇数，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数.答案（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数【名师指引】构成函数的三个要
12、素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，都可视为同一函数.三、函数的基本性质1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.（2）、求函数的解析式的主要方法有： 1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4)拼凑法：例7已知二次函数满足，求方法一：换元法令，
13、则，从而所以方法二：配凑法因为所以方法三：待定系数法因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以2定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 例8.函数的定义域为( )A.;B.；C. ;D. 解题思路函数的定义域应是
14、使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。解析欲使函数有意义，必须并且只需，故应选择 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：分母不能为0； 对数的真数必须为正；偶次根式中被开方数应为非负数；零指数幂中，底数不等于0；负分数指数幂中，底数应大于0；若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。 例9设，则的定义域为（ ）A. ；B. ；C. ；D. 解题思路要求复合函数的定义域，应先求的定义域。解析由得，的定义域为，故解得。故的定义域为.选B.【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域3、相同函数的判断方法：表达式相同（与表示自变量和函数值
