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1、3 4 隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数 相关变化率 第三章 导数与微分 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率 小结 思考题 对数求导法 1 一 隐函数的导数 定义 隐函数的显化 问题 隐函数不易显化或不能显化如何求导 隐函数求导法则 用复合函数求导法则直接对方程两边求导 并注 意到其中变量y是x的函数 2 例 解 解得 3 虽然隐函数没解出来 但它的导数求出来 了 当然结果中仍含有变量y 允许在 的表达式中含有变量y 一般来说 隐函数 求导 求隐函数的导数时 只要记住x是自变量 将方程两边同时对x求导 就得到一个含有导数 从中解出即可 于是y的函数便是x的复合函数 的
2、方程 y是x的函数 4 例 解 所求切线方程为 显然通过原点 5 例 解 6 或解 解得 7 考研数学一 3分 解 确定 8 二 对数求导法 观察函数 方法 先在方程两边取对数 然后利用隐函数的求导 方法求出导数 对数求导法 适用范围 9 例 解等式两边取对数得 10 例 解等式两边取对数得 11 一般地 两边对求x导得 12 注 复合函数 改写成 如上例 则 只要将 幂指函数也可以利用对数性质化为 再求导 13 解答 等式两边取对数 14 解答 15 三 由参数方程所确定的函数的导数 例如 消去参数 问题 消参困难或无法消参如何求导 16 由复合函数及反函数的求导法则得 17 18 例 解
3、19 所求切线方程为 20 例 解 21 22 例 解 23 若曲线由极坐标方程给出 利用 可化为极角 参数方程 因此曲线切线的斜率为 qqsin r y cos qqr x q qqsin r 24 例 解 将曲线的极坐标方程转换成 则曲线的切线斜率为 所以法线斜率为 又切点为 故法线方程为 即 参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程 借助 参数方程处理问题的方法 在高等数学中将 多次遇到 25 为两可导函数 之间有联系之间也有联系 称为 相关变化率解法三步骤 找出相关变量的关系式 对t 求导 相关变化率 求出未知的相关变化率 三 相关变化率 相关变化率 之间的关系式 代入指定时刻的变量值及
4、已知变化率 1 2 3 26 例 解 仰角增加率 27 例 解 水面上升之速率 4000m 28 水面 例 解 桥面 20m x y 1 在此人的正下方有一条小船以的速度在 与桥垂直的方向航行 求经5s后 人与小船相分离的 速度 对t求导 2 3 my船航行距离为 29 五 小结 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 对数求导法 对方程两边取对数 按隐函数的求导 法则求导 参数方程求导 实质上是利用复合函数和反函数 求导法则 相关变化率 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率 解法 通过建立两者之间的关系 用链 式求导法求解 注意 变量y是x的函数 30 思考题1 31 思考题1解答 不对 32 思考题 2 是非题 正确解答 试问 对吗 非 33 作业 习题3 4 83页 1 7 8 3 2 5 3 4 6 4 8 8 2 9 4 10 2 15 18 34 练 习 题 35 36 37 38 练习题答案 39 40 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好
