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1、2019-2020年高考数学一轮复习第五章数列第三节等比数列习题理基础达标一、选择题(每小题5分,共30分)1.在等比数列an中,a1=,q=,an=,则项数n为()A.3B.4C.5D.61.C【解析】由等比数列通项公式可知an=a1qn-1,则,解得n=5.2.等比数列an的各项为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+log3a10=()A.12B.10C.8D.2+log352.B【解析】等比数列an中由a5a6+a4a7=18得2a5a6=18,即a5a6=9,所以log3a1+log3a2+log3a10=log3(a1a2a10),而a1a2a10=(a5
2、a6)5=95,故log3a1+log3a2+log3a10=log395=10.3.(xx湖北部分重点中学联考)等比数列an的前n项和为Sn,若a3=6,S3=4xdx,则公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或-3.C【解析】S3=4xdx=2x2=18,所以当q=1时,符合条件.当q1时,联立方程组解得q=-.所以公比q的值为1或-.4.(xx银川一中月考)已知x,y为正实数,且x,a1,a2,y成等差数列,x,b1,b2,y成等比数列,则的取值范围是()A.RB.(0,4C.4,+)D.(-,04,+)4.C【解析】由x,a1,a2,y成等差数列得a1+a2=x+y,由x,b1
3、,b2,y成等比数列得b1b2=xy,所以=2+2+2=4.5.设a1=2,数列1+2an是公比为2的等比数列,则a6=()A.31.5B.160C.79.5D.159.55.C【解析】因为1+2an=(1+2a1)2n-1,则an=52n-2-,则a6=524-=516-=80-=79.5.6.(xx唐山一模)已知等比数列an的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=()A.4n-1B.4n-1C.2n-1D.2n-16.D【解析】由除以可得=2,解得q=,代入得a1=2,an=2,Sn=4,=2n-1.二、填空题(每小题5分,共15分)7.(xx南宁三中、柳铁一中、玉林高中联考)
4、已知数列an是递减数列,且对任意的正整数n,an=-n2+n恒成立,则实数的取值范围为.7.(-,3)【解析】an是递减数列,an+1an,an=-n2+n恒成立,即-(n+1)2+(n+1)-n2+n,2n+1对于nN*恒成立.而2n+1在n=1时取得最小值3,3.8.(xx江苏淮阴中学月考)等比数列an的公比大于1,a5-a1=15,a4-a2=6,则a3=.8.4【解析】由a5-a1=15,a4-a2=6得,解得q= (舍)或q=2,所以a1=1,从而a3=a1q2=122=4.9.设an是等比数列,公比q=,Sn为an的前n项和.记Tn=,nN*,设为数列Tn的最大项,则n0=.9.4
5、【解析】Tn=()n+-17,因为()n+8,当且仅当()n=4,即n=4时取等号,所以当n0=4时Tn有最大值.三、解答题(共10分)10.(10分)(xx黑龙江绥化一中期中考试)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设bn=an+1-2an,证明数列bn是等比数列;(2)求数列an的通项公式.10.【解析】(1)由a1=1及Sn+1=4an+2,得a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,b1=a2-2a1=3,由Sn+1=4an+2,则当n2时,有Sn=4an-1+2.-得an+1=4an-4an-1,an+1-2an=2(an-2an-1),又bn=
6、an+1-2an,bn=2bn-1,bn是首项b1=3,公比为2的等比数列.(2)由(1)可得bn=an+1-2an=32n-1,数列是首项为,公差为的等差数列. (n-1)= n-,an=(3n-1)2n-2.高考冲关1.(5分)(xx湖州一模)设Sn为等比数列an的前n项和,若8a2-a5=0,则=()A.-8B.5C.8D.151.B【解析】在等比数列an中,8a2-a5=0,公比q=2,=5.2.(5分)已知数列cn,其中cn=2n+3n,且数列cn+1-pcn为等比数列,则常数p的值为()A.2B.3C.2或3D.52.C【解析】由数列cn+1-pcn为等比数列,得(c3-pc2)2
7、=(c2-pc1)(c4-pc3),即(35-13p)2=(13-5p)(97-35p),解得p=2或p=3.3.(5分)(xx桂林十八中月考)已知数列an的前n项和Sn=2an-2n+1,若不等式2n2-n-30,所以不等式2n2-n-3.记bn=,n2时, ,所以n3时, ,即5-,所以整数的最大值为4.4.(12分)(xx哈尔滨六中期中考试)已知数列an的前n项和Sn满足:Sn=2(an-1),数列bn满足:对任意nN*有a1b1+a2b2+anbn=(n-1)2n+1+2.(1)求数列an与数列bn的通项公式;(2)记cn=,数列cn的前n项和为Tn,证明:当n6时,n|2-Tn|1时
8、,an=Sn-Sn-1=2(an-an-1),即an=2an-1,又a2=4=22=2a1成立,所以数列an是首项a1=2,公比q=2的等比数列,通项公式为an=2n(nN*).由题意有a1b1=(1-1)22+2=2,得b1=1.当n2时,anbn=(a1b1+a2b2+anbn)-(a1b1+a2b2+an-1bn-1)=(n-1)2n+1+2- (n-2)2n+2=n2n,验证首项满足,于是得bn=n,故数列bn的通项公式为bn=n(nN*).(2)因为Tn=+,所以Tn=+,错位相减得Tn=+,所以Tn=2-,即|2-Tn|=.下证:当n6时, 1,令f(n)=,f(n+1)-f(n)
9、=,当n2时,f(n+1)-f(n)0,即当n2时,f(n)单调减,又f(6)1,所以当n6时,f(n)1,即1,即当n6时,n|2-Tn|1.5.(13分)已知函数f(x)=log3(ax+b)的图象经过点A(2,1)和B(5,2),记an=3f(n),nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=,Tn=b1+b2+bn,若Tnm(mZ),求m的最小值;(3)求使不等式p对一切nN*均成立的最大实数p.5.【解析】(1)由题意得解得f(x)=log3(2x-1),an=2n-1,nN*.(2)由(1)得bn=,Tn=+,Tn=+.-得Tn=+-.Tn=3-=3-,设f(n)=,nN*,则由1,得f(n)=,nN*随n的增大而减小,T(n)3,又Tn0,F(n+1)F(n),即F(n)随n的增大而增大,F(n)的最小值为F(1)=,p,即pmax=.
