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1、1 主要内容 主要内容 一维无限深势阱一维无限深势阱 重点要求 重点要求 会解一维无限深势阱条件下的薛定谔 方程 求势阱中的能量分布和粒子在 阱内空间各处出的概率密度 会解一维无限深势阱条件下的薛定谔 方程 求势阱中的能量分布和粒子在 阱内空间各处出的概率密度 数学方法 数学方法 积分积分 1313 8 8 势阱中的粒子势阱中的粒子势阱中的粒子势阱中的粒子 势垒势垒势垒势垒 谐振子谐振子谐振子谐振子 1 1 1 1 一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱一维无限深势阱 若质量为若质量为m m的粒子 在保守力场的作用下 被限 制在一定的范围内运动 其势函数称为势阱 为了简化计算 提出理想模型
2、 的粒子 在保守力场的作用下 被限 制在一定的范围内运动 其势函数称为势阱 为了简化计算 提出理想模型 无限深势阱 一维无限深势阱 无限深势阱 一维无限深势阱 0 xU ax a x 0时 时 V 2 2 2 rErrV m vvvh EV dx d m 2 22 2 h 1 x a 时时 e e EV dx d m 2 2 22 h 2 EV 令 令 e e dx d m 2 2 22 2 h 0 0axx e 结论 结论 结论 结论 x 0 x ax a的的的的区域粒子出现的几率为零 区域粒子出现的几率为零 区域粒子出现的几率为零 区域粒子出现的几率为零 势阱内的一维定态薛定谔方程为 势阱
3、内的一维定态薛定谔方程为 i i E xm 2 2 d d 2 2 h 2 2 2 h mE k 解为 解为 sin kxCx i 2 0 x 1 时时 能级的相对间隔近似为能级的相对间隔近似为 例题例题例题例题试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最试求在一维无限深势阱中粒子概率密度的最 大值的位置 大值的位置 大值的位置 解 一维无限深势阱中粒子的概率密度为 大值的位置 解 一维无限深势阱中粒子的概率密度为 L 3 2 1sin 2 2 2 nxn a n an 将上式对将上式对x求导一次 并令它等于零求导一次 并令
4、它等于零 0cossin 2 2 4 0 xx a n a n a m x dx xd n 因为在阱内 即因为在阱内 即0sin 0 当 实验证明粒子也能通过势垒当 实验证明粒子也能通过势垒 这只有 由量子力学得到解释 这只有 由量子力学得到解释 0 UE 设三个区域的波函数分别为设三个区域的波函数分别为321 在各区域薛定谔方程分别为在各区域薛定谔方程分别为 3 2 3 22 220 2 2 22 1 2 1 22 d d 2 d d 2 d d 2 E xm EU xm E xm h h h 2 0 2 2 2 2 1 2 2 hh EUm k mE k 令 为实数 令 为实数 0 UE
5、2 k o ax 0 U U E 4 0 d d 0 d d 0 d d 3 2 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 k x k x k x 解为 解为 xikxik xkxk xikxik eCCex eBBex eAAex 11 22 11 3 2 1 三个区域中波函数的 情况如图所示 三个区域中波函数的 情况如图所示 隧道效应隧道效应 在粒子总能量低于势 垒壁高的情况下 粒子有 一定的概率穿透势垒 此 现象称为隧道效应 贯穿势垒的概率定义为在处透射波的强度与 入射波的强度之比 在粒子总能量低于势 垒壁高的情况下 粒子有 一定的概率穿透势垒 此 现象称为隧道效应
6、 贯穿势垒的概率定义为在处透射波的强度与 入射波的强度之比 ax 2 2 2 3 0 2 EUm a e A a T h 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关 贯穿概率与势垒的宽度与高度有关 扫描隧道显微镜 STM 扫描隧道显微镜 STM 原理 利用电子的隧道效应 原理 利用电子的隧道效应 金属样品外表面有一层电子云 电子云的密度随着与表面距离的 增大呈指数形式衰减 将原子线 度的极细的金属探针靠近样品 并在它们之间加上微小的电压 其间就存在隧道电流 隧道电流 对针尖与表面的距离极其敏感 如果控制隧道电流保持恒定 针 尖在垂直于样品方向的变化 就 反映出样品表面情况 金属样品外表面有一层电子云 电子
7、云的密度随着与表面距离的 增大呈指数形式衰减 将原子线 度的极细的金属探针靠近样品 并在它们之间加上微小的电压 其间就存在隧道电流 隧道电流 对针尖与表面的距离极其敏感 如果控制隧道电流保持恒定 针 尖在垂直于样品方向的变化 就 反映出样品表面情况 48个48个F Fe原子形成e原子形成 量子围栏量子围栏 围栏中的电子形成驻波 围栏中的电子形成驻波 STM的横向分辨率已达 纵向分辨达 STM的出现 使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表面电子行为有关性质 STM的横向分辨率已达 纵向分辨达 STM的出现 使人类第一次能够适时地观察单个原子 在物质表面上的排列状态以及表
8、面电子行为有关性质 nm1 0 nm01 0 中国科学院化学研究所的科技人员利 用自制的扫描隧道显微镜 在石墨表 面上刻蚀出来的图象 图形的线宽实 际上只有10nm 中国科学院化学研究所的科技人员利 用自制的扫描隧道显微镜 在石墨表 面上刻蚀出来的图象 图形的线宽实 际上只有10nm 3 谐振子谐振子 谐振子的势能为谐振子的势能为 222 2 1 2 1 xmkxU 薛定谔方程为薛定谔方程为 0 2 1 2 d d 22 22 2 xmE m xh 其能量本征值为其能量本征值为 Lh3 2 1 0 2 1 nnEn 基态能 零点能 基态能 零点能 h 2 1 0 E 能级间隔能级间隔 h ox U 0 n 2 n 1 n 3 n h 2 1 h 2 3 h 2 5 h 2 7 一维谐振子的能级一维谐振子的能级
