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1、信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 1页 电子教案 第二章 连续系统的时域分析 2 1 LTI连续系统的响应 一 微分方程的经典解 二 关于0 和0 初始值 三 零输入响应和零状态响应 2 2 冲激响应和阶跃响应 一 冲激响应 二 阶跃响应 2 3 卷积积分 一 信号时域分解与卷积 二 卷积的图解 2 4 卷积积分的性质 一 卷积代数 二 奇异函数的卷积特性 三 卷积的微积分性质 四 卷积的时移特性 点击目录 进入相关章节 1 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 2页 电子教案 LTI连续系统的时域分析 归结为 建立并求解线 性微分方程 由于在其分析过程涉及
2、的函数变量均为时间t 故 称为时域分析法 这种方法比较直观 物理概念清楚 是学习各种变换域分析法的基础 第二章 连续系统的时域分析 2 1 LTI连续系统的响应 2 1 LTI连续系统的响应 一 微分方程的经经典解 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 2 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 3页 电子教案2 1 LTI连续系统的响应 微分方程的经典解 y t 完全解 yh t 齐次解 yp t 特解 齐次解是齐次微分方程 y n an 1y n 1 a1y 1 t a0y t 0
3、的解 yh t 的函数形式由上述微分方程的特征根确定 例 描述某系统的微分方程为 y t 5y t 6y t f t 求 1 当f t 2e t t 0 y 0 2 y 0 1时的全解 2 当f t e 2t t 0 y 0 1 y 0 0时的全解 特解的函数形式与激励函数的形式有关 P43表2 1 2 2 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关 而与激励 f t 的函数形式无关 称为系统的固有响应或自由响应 特解的函数形式由激励确定 称为强迫响应 3 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 4页 电子教案2 1 LTI连续系统的响应 解 1 特征方程为 2 5 6 0 其特征根
4、 1 2 2 3 齐次解为 yh t C1e 2t C2e 3t 由表2 2可知 当f t 2e t时 其特解可设为 yp t Pe t 将其代入微分方程得 Pe t 5 Pe t 6Pe t 2e t 解得 P 1 于是特解为 yp t e t 全解为 y t yh t yp t C1e 2t C2e 3t e t 其中 待定常数C1 C2由初始条件确定 y 0 C1 C2 1 2 y 0 2C1 3C2 1 1 解得 C1 3 C2 2 最后得全解 y t 3e 2t 2e 3t e t t 0 4 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 5页 电子教案 2 齐次解同上 当激
5、励f t e 2t时 其指数与特征根 之一相重 由表知 其特解为 yp t P1t P0 e 2t 代入微分方程可得 P1e 2t e 2t 所以 P1 1 但P0不能求得 全解为 y t C1e 2t C2e 3t te 2t P0e 2t C 1 P0 e 2t C 2e 3t te 2t 将初始条件代入 得 y 0 C1 P0 C2 1 y 0 2 C1 P0 3C2 1 0 解得 C1 P0 2 C2 1 最后得微分方程的全解为 y t 2e 2t e 3t te 2t t 0 上式第一项的系数C1 P0 2 不能区分C1和P0 因而也 不能区分自由响应和强迫响应 2 1 LTI连续系
6、统的响应 5 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 6页 电子教案2 1 LTI连续系统的响应 二 关于0 和0 初始值值 若输入f t 是在t 0时接入系统 则确定待定系数Ci 时用t 0 时刻的初始值 即y j 0 j 0 1 2 n 1 而y j 0 包含了输入信号的作用 不便于描述系统 的历史信息 在t 0 时 激励尚未接入 该时刻的值y j 0 反映 了系统的历史情况而与激励无关 称这些值为初始状 态或起始值 通常 对于具体的系统 初始状态一般容易求得 这样为求解微分方程 就需要从已知的初始状态y j 0 设法求得y j 0 下列举例说明 6 信号与系统 西安电子科技
7、大学电路与系统教研中心 第2 7页 电子教案 例 描述某系统的微分方程为 y t 3y t 2y t 2f t 6f t 已知y 0 2 y 0 0 f t t 求y 0 和y 0 解 将输入f t t 代入上述微分方程得 y t 3y t 2y t 2 t 6 t 1 利用系数匹配法分析 上式对于t 0 也成立 在0 t 0 10 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 11页 电子教案2 1 LTI连续系统的响应 2 零状态响应yf t 满足 yf t 3yf t 2yf t 2 t 6 t 并有 yf 0 yf 0 0 由于上式等号右端含有 t 故yf t 含有 t 从而
8、yf t 跃变 即yf 0 yf 0 而yf t 在t 0连续 即yf 0 yf 0 0 积分得 yf 0 yf 0 3 yf 0 yf 0 2 因此 yf 0 2 yf 0 2 对t 0时 有 yf t 3yf t 2yf t 6 不难求得其齐次解为Cf1e t Cf2e 2t 其特解为常数3 于是有 yf t Cf1e t Cf2e 2t 3 代入初始值求得 yf t 4e t e 2t 3 t 0 11 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 12页 电子教案2 2 冲激响应和阶跃响应 2 2 冲激响应和阶跃响应 一 冲激响应应 由单位冲激函数 t 所引起的零状态响应称为单
9、位冲 激响应 简称冲激响应 记为h t h t T 0 t 例1 描述某系统的微分方程为 y t 5y t 6y t f t 求其冲激响应h t 解 根据h t 的定义 有 h t 5h t 6h t t h 0 h 0 0 先求h 0 和h 0 12 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 13页 电子教案2 2 冲激响应和阶跃响应 因方程右端有 t 故利用系数平衡法 h t 中含 t h t 含 t h 0 h 0 h t 在t 0连续 即 h 0 h 0 积分得 h 0 h 0 5 h 0 h 0 6 1 考虑h 0 h 0 由上式可得 h 0 h 0 0 h 0 1 h
10、0 1 对t 0时 有 h t 5h t 6h t 0 故系统的冲激响应为一齐次解 微分方程的特征根为 2 3 故系统的冲激响应为 h t C1e 2t C2e 3t t 代入初始条件求得C1 1 C2 1 所以 h t e 2t e 3t t 13 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 14页 电子教案2 2 冲激响应和阶跃响应 例2 描述某系统的微分方程为 y t 5y t 6y t f t 2f t 3f t 求其冲激响应h t 解 根据h t 的定义 有 h t 5h t 6h t t 2 t 3 t 1 h 0 h 0 0 先求h 0 和h 0 由方程可知 h t 中
11、含 t 故令 h t a t p1 t pi t 为不含 t 的某函数 h t a t b t p2 t h t a t b t c t p3 t 代入式 1 有 14 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 15页 电子教案2 2 冲激响应和阶跃响应 a t b t c t p3 t 5 a t b t p2 t 6 a t p1 t t 2 t 3 t 整理得 a t b 5a t c 5b 6a t p3 t 5 p2 t 6 p1 t t 2 t 3 t 利用 t 系数匹配 得 a 1 b 3 c 12 所以 h t t p1 t 2 h t t 3 t p2 t 3 h
12、 t t 3 t 12 t p3 t 4 对式 3 从0 到0 积分得 h 0 h 0 3 对式 4 从0 到0 积分得 h 0 h 0 12 故 h 0 3 h 0 12 15 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 16页 电子教案2 2 冲激响应和阶跃响应 微分方程的特征根为 2 3 故系统的冲激响应为 h t C1e 2t C2e 3t t 0 代入初始条件h 0 3 h 0 12 求得C1 3 C2 6 所以 h t 3e 2t 6e 3t t 0 结合式 2 得 h t t 3e 2t 6e 3t t 对t 0时 有 h t 6h t 5h t 0 二 阶跃阶跃 响应
13、应 g t T t 0 由于 t 与 t 为微积分关系 故 16 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 17页 电子教案 2 3 卷积积分 2 3 卷积积分 一 信号的时时域分解与卷积积积积 分 1 信号的时域分解 1 预备知识 问 f1 t p t 直观看出 17 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 18页 电子教案 2 3 卷积积分 2 任意信号分解 0 号脉冲高度f 0 宽度为 用p t 表示为 f 0 p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 1 号脉冲高度f 宽度为 用p t 表示为 f p t 18 信号与系统 西安电子科技大
14、学电路与系统教研中心 第2 19页 电子教案 2 3 卷积积分 2 任意信号作用下的零状态响应 yf t f t 根据h t 的定义 t h t 由时不变性 t h t f t 由齐次性 f h t 由叠加性 f t yf t 卷积积分 19 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 20页 电子教案 2 3 卷积积分 3 卷积积分的定义 已知定义在区间 上的两个函数f1 t 和f2 t 则定义积分 为f1 t 与f2 t 的卷积积分 简称卷积 记为 f t f1 t f2 t 注意 积分是在虚设的变量 下进行的 为积分变量 t为参变量 结果仍为t 的函数 20 信号与系统 西安电
15、子科技大学电路与系统教研中心 第2 21页 电子教案 2 3 卷积积分 例 f t e t t h t 6e 2t 1 t 求yf t 解 yf t f t h t 当t t时 t 0 21 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 22页 电子教案 2 3 卷积积分 二 卷积积的图图解法 卷积过程可分解为四步 1 换元 t换为 得 f1 f2 2 反转平移 由f2 反转 f2 右移t f2 t 3 乘积 f1 f2 t 4 积分 从 到 对乘积项积分 注意 t为参变量 下面举例说明 22 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 23页 电子教案 2 3 卷积积分 例
16、f t h t 如图所示 求yf t h t f t 解 采用图形卷积 f t f 反折f 平移t t 0时 f t 向左移 f t h 0 故 yf t 0 0 t 1 时 f t 向右移 1 t 2时 3 t 时 f t h 0 故 yf t 0 h t 函数形式复杂 换元为h f t 换元 f 2 t 3 时 0 23 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 24页 电子教案 2 3 卷积积分 图解法一般比较繁琐 但 若只求某一时刻卷积值时 还是比较方便的 确定积 分的上下限是关键 例 f1 t f2 t 如图所示 已知 f t f2 t f1 t 求f 2 f1 f1 2 解 1 换元 2 f1 得f1 3 f1 右移2得f1 2 4 f1 2 乘f2 5 积分 得f 2 0 面积为0 24 信号与系统 西安电子科技大学电路与系统教研中心 第2 25页 电子教案 2 4 卷积积分的性质 2 4 卷积积分的性质 卷积积分是一种数学运算 它有许多重要的性质 或运算规则 灵活地运用它们能简化卷积运算 下面 讨论均设卷积积分是收敛的 或存在的 一 卷积积代数 满足乘法的三
