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1、2019-2020年高考数学二轮复习 难点2.12 推理与新定义问题教学案 理随着新课标的深入实施，素质教育要求不断提高，全国各地的高考试卷都相继推出了以能力立意为目标，以增大思维容量为特色，具有相当浓度和明确导向的创新题型脱颖而出，为高考试题增添了活力纵观近年各地高考的创新题型，不难发现，推理与“新定义”型这种题目是高考试题的一大热点所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些新概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有的知识、能力进行理解，并根据新的定义进行运算、推理、迁移的一种题型这类题目具有启发性、思考性、挑战性和隐蔽性等特点，由于它构思巧妙，题意新颖，是
2、考察学生综合素质和能力、挖掘学生潜力的较佳题型，因而它受到的青睐一新定义以新课标内容为背景，这种类型的问题很多，一般是以新课标教材内容为背景，给出某种新概念、新运算（符号）、新法则（公式）等，学生在理解相关新概念、新运算（符号）、新法则（公式）之后，运用新课标学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等寻求问题解决纵观这几年的高考试题，可以发现，“新定义”型问题按其命题背景可分为三种类型：以新课标内容为背景、以高等数学为背景、以跨学科为背景现就相关类型作探讨：1新定义集合所谓“新定义集合”，给出集合元素满足的性质，探讨集合中的元素属性，要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力由于此类题目编制角度新
3、颖，突出能力立意，突出学生数学素质的考查，特别能够考查学生“现场做题”的能力，并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现下面选取几例进行分类归纳，解题时应时刻牢记集合元素的三要素：确定性，互异性，无序性例1已知集合，若对于任意，存在，使得成立，则称集合是“理想集合”.给出下列4个集合：；.其中所有“理想集合”的序号是（ ）A. B. C. D.【答案】B的点都能找到对应的点,使得成立，故正确；项由图象可得，直角始终存在，故正确；项，由图象可知，点在曲线上不存在另外一个点，使得成立，故错误；综合正确，所以选B.点评：本题主要考查的是平面向量数量积的应用，元素与集合的关系，数形结合的思想，推
4、理分析与综合运算能力，属于难题，此类新定义问题最主要是弄明白问题的实质是什么，对于此题而言，通过可得出就是在函数的曲线上找任意一个点都能找到一个点,使得成立，找到新定义的含义了，剩余的选项中都是我们所熟知的基本初等函数，可通过数形结合分析即可求解，所以对新定义的转化能力是解这类问题的关键.2新定义函数例2【xx湖南株洲两校联考】设函数f（x）的定义域为D，若f（x）满足条件：存在a，bD（ab），使f（x）在a，b上的值域也是a，b，则称为“优美函数”，若函数为“优美函数”，则t的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】D点评：定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为
5、函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解.例3若函数在区间上，均可为一个三角形的三边长，则称函数为“三角形函数”已知函数在区间上是“三角形函数”，则实数的取值范围为（ ）A B C D【答案】A点评：本题主要考查了利用导数研究函数在闭区间上的最值，考查考生应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答本题首先通过给出的定义把问题转化为函数的最值问题，通过导数研究其单调性，得到最小值，通过比较区间端点的函数值求出最大值，列出关于参数的不等式，进而求得其范围.3新定义数列例4. 【上海市静安区xx届质检】设数列满足：；所有项； 设集合，将集合中的元素的最大值记为换句话说， 是
6、数列中满足不等式的所有项的项数的最大值我们称数列为数列的伴随数列例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3（1）若数列的伴随数列为1,1,1,2,2,2,3，请写出数列；（2）设，求数列的伴随数列的前100之和；（3）若数列的前项和（其中常数），试求数列的伴随数列前项和思路分析：（1）根据伴随数列的定义求出数列；（2）根据伴随数列的定义得： ，由对数的运算对分类讨论求出伴随数列的前100项以及它们的和；（3）由题意和与的关系式求出，代入得，并求出伴随数列的各项，再对分类讨论，分别求出伴随数列的前项和（3） ，当时， ， ，由得： ，使得成立的的最大值为， ，当时： ，当时： ，当时：
7、，点评：本题考查数列的应用，着重考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，观察、分析寻找规律是难点，是难题4 定义新运算型例5【四川省成都市xx届12月月考】定义一种运算，若，当有5个不同的零点时，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A点评：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个
8、函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .5 定义新法则型例6一个二元码是由0和1组成的数字串 ，其中 称为第位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元由0变为1，或者由1变为0），已知某种二元码 的码元满足如下校验方程组： 其中运算 定义为：现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 等于 思路分析：根据二元码及新定义，分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算求得.【答案】点评：本题以二元码为背景考查新定义问题，解决时候要耐心读题，并
9、分析新定义的特点，按照所给的数学规则和要求进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的对于新法则，关键在于找到元素之间的对应关系，我们可以借助图表等方法寻找它们之间的对应关系，利用对应关系列方程6 以高等数学为背景本类型的题目通常是以高等数学符号、概念直接出现或以高等数学概念、定理作为依托融于初等数学知识中此类问题的设计虽来源于高等数学，但一般是起点高，落点低，它的解决的方法还是运用中学数学的基本知识和基本技能这要求学生认真阅读相关定义或方法，在充分理解题意的基础上，结合已有的知识进行解题例7对于使成立的所有常数M中，我们把M的最大值1，称为函数的“下确界”，若的“下确界”为A、8 B、6 C
10、、 4 D、1【思路分析】根据“下确界”的定义，将问题转化为求的最小值.【解析】由且，即，从而，由“下确界”的定义得“下确界”为点评：本题要充分理解题意，准确把握“下确界”的实质是什么？从而转化求的最小值的问题，运用学过的知识，便能求出相应函数的最值3 以跨学科为背景本类型的题目，主要是介绍数学知识在其他学科或领域的运用，一般都会介绍运用时的知识背景、数学模型，因而题中文字、信息较多学生必须准确地把握题意、理顺线索、分析相应数学模型与数学知识的内在联系，结合学生已有的知识和能力进行推理、运算例8设数列A： ， , ().如果对小于()的每个正整数都有 ，则称是数列A的一个“G时刻”.记“是数列
11、A的所有“G时刻”组成的集合.（1）对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；（2）证明：若数列A中存在使得，则 ；（3）证明：若数列A满足- 1（n=2,3, ,N）,则的元素个数不小于 -.思路分析：（1）关键是理解G时刻的定义，根据定义即可写出的所有元素；（2）要证，即证中含有一元素即可；（3）当时，结论成立.只要证明当时仍然成立即可.点评：数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型，数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，或)等.
12、由上各例可见，“新定义”型的问题，通常是选取合适的数学背景，把新定义、新运算、新符号等巧妙的融入高考试题中来，虽然它的构思巧妙、题意新颖、隐蔽性强，到处都体现出新意，但是，它考查的还是基本知识和基本技能，解题的关键在于全面准确理解题意，科学合理的推理运算因此，“新题”不一定是“难题”，只有夯实基础，掌握好双基，以不变应万变才是我们取胜的法宝二推理问题最近几年,在高考数学命题中,在考查考生对基础知识掌握情况的同时,也逐渐加大了对学生综合应用能力的考查.合情推理创新题型的考查力度增大,要求考生在推理过程中具备独特的方法和技巧.这类题型在高考试题中的位置较为特殊,尤其是“类比推理”和“归纳推理”题型
13、.1类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和已知其中一类对象的某些特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理.类比推理在具体实施过程中，关键是找到两类对象之间可以确切表述的相似特征.然后，用一类对象的已知特征，去推测另一类对象的特征，从而得到一个猜想，最后检验这个猜想.它是数学的重要方法之一.要找到类比，往往需要一点想象力和创新精神，在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等.例9已知是的三边，若满足，即，为直角三角形，类比此结论：若满足时，的形状为_（填“锐角三角形”，“直角三角形”或“钝角三角形”）思路分析：本题考查解三角形、类比推理，涉及
14、分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.首先判断得最大，则角最大，故该三角形为锐角三角形.【答案】锐角三角形 ，故该三角形为锐角三角形.点评：类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起当然首先是在某些方面有一定的共性，才能有方法上的类比一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等2归纳推理
15、例10观察如下数表的规律（仿杨辉三角：下一行的数等于上一行肩上相邻两数的和）：该数表最后一行只有一个数，则这个数是_.思路分析：本题主要考查了归纳推理委托，着重考查了由数表探究数列的规律，根据数字的排布规律，计算数表数列问题，以及等差数列的应用，考查了学生分析问题和解答问题的能力，对于归纳推理问题解答的关键在于根据给定的数表数列，寻找数字的排布规律，根据规律解答.【答案】点评：归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广泛的应用其思维模式是“观察归纳猜想证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想由上各例可见，在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论.在进行类比推
