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1、中考数学有关圆的证明与计算题型解析关圆的证明与计算涉及到的主要知识点有圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、特殊四边形的判定与性质、特殊三角形的性质、全等与相似三角形的判定与性质等本节主要对其相应的题型总结归纳如下：类型一、切线的性质【例题1】如图，已知 AB 是O 的直径，P 是 AB 延长线上一点，PC 与 O 相切于点 C，过点 C 作 CEAB，交O 于点 E，垂足为点 D.(1) 求证：PCBBAC；(2) 过点 B 作 BMPC 交 O 于点 M，交 CD 于点 N，连接 AM . 求证：CNBN； 若 cos P = 4/5 , CN = 5 , 求 AM 的长 .例题1图【参考答
2、案】(1)证明：如解图1 所示，连接 OC，交 BM 于点 F .解图1 PC 是O 的切线， OCPC . PCO90. PCBBCO90. AB是O的直径， ACB90. ACOBCO90. PCBACO. OCOA， ACOBAC. PCBBAC.(2)例题1图 证明： BMPC， CBMPCB. CEAB， BCBE . BACBCE. PCBBAC， BCEPCBCBM. CNBN. 解：例题1图 BMPC， MBAP. cos MBAcos P4/5 .在 Rt BDN 中，cos MBABD / BN4/5，BNCN5， BD4. CDCNND8.在 Rt OCD 中，设 OCr
3、，则 ODOBBDr4.由勾股定理，得 OC2OD2CD2，即 r2(r4)282 .解得 r10. AB2r20. AB 是直径， AMB90.在 Rt ABM 中，cos MBABM / AB 4 / 5，AB20， BM16 .类型二、切线的判定与性质综合双切线模型【例题2】如图，PB 与 O 相切于点 B，过点 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为点 C，交 O 于点 A，连接 PA，AO，AO 的延长线交 O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D.(1) 求证：PA 是 O 的切线；(2) 若 tan BAD2 / 3，且 OC4，求 BD 的长例题2图【参考答案】解：(1)如解图
4、1 所示，连接 OB，则 OAOB .解图1 OPAB， ACBC. OP 是 AB 的垂直平分线 PAPB.在 PAO 和 PBO 中， PAO PBO ( SSS ) PAOPBO. PB为O的切线，B 为切点， PBO90. PAO90，即 PAOA . PA 是 O 的切线(2)如解图 2 所示，连接 BE .解图2在 Rt AOC 中，tan BADtan CAOOC / AC2 / 3，且 OC4， AC BC = 6 . PAOA，OPAB， PACOAC90. ACPOCA90，PACAPC90. APCOAC . PACAOC.PC / ACAC / OC，即 PC / 6
5、6 / 4 .解得 PC9 . OPPCOC13 .解图2在 Rt PCB 中，由勾股定理得， ACBC，OAOE， OC 为 ABE 的中位线 BE2OC8，OCBE. DBEDPO . BD / PD = BE / PO ,类型三、切线的判定与性质综合切割线模型【例题3】如图，在 RtABC 中，ACB90，D 是 AC 上一点，过 B，C，D 三点的 O 交 AB 于点 E，连接 ED，EC，点 F 是线段 AE 上的一点，连接 FD，其中 FDEDCE .(1) 求证：DF 是 O 的切线；(2) 若 D 是 AC 的中点， A30，BC4，求 DF 的长例题3图【参考答案】(1) 证
6、明：如解图 1 所示，连接 BD.解图1 ACB90，点 B，D 在O上， BD 是 O 的直径又 BDEBCE，FDEDCE， BDEFDEBCEDCE，即 BDFACB 90 . DFBD .又 BD 是 O 的直径， DF 是 O 的切线(2) 解：解图1 ACB90，A30，BC4， AB2BC8. 点 D 是 AC 的中点， ADCD1/2 AC23 . BD 是 O 的直径， DEB90. DEA180DEB90. DE1/2 AD1/2 233 . （A = 30）解图1在 Rt BCD 中，在 Rt BED 中， FDEDCE，DCEDBE， FDEDBE. DEFBED90，
7、 FDEDBE . DF / BD = DE / BE , 即 DF / 27 = 3 / 5 , DF221 / 5 .类型四、三切线模型【例题4】如图，AB 是 O 的直径，ABBD，AC 与 O 相切于点 A，点 E 为 O 上一点，且 ACCE，连接 CE 并延长交 BD 于点 D.(1) 求证：CD 为 O 的切线；(2) 连接 AD，BE 交于点 F，O 的半径为 2，当点 F 为 AD 中点时，求 BD 的长例题4图【参考答案】(1) 证明：如解图 1，连接 OC，OE .解图1 AB 是 O 的直径，AC 与 O 相切于点 A， OAC90.在 ACO 和 ECO 中， ACO
8、 ECO ( SSS ) OECOAC90. OEDC. CD 为 O 的切线(2) 解：如解图 2 所示，连接 OF，AE，过点 F 作 FGBD 于点 G .解图2 ABBD， ABDFGDFGB90. FGAB . ABFBFG. AB 是 O 的直径， AEBFGB90. ABEBFG . AB / BF BE / FG .解图2 点 F 为 AD 中点，O 为 AB 中点， OFBG .易证四边形 OFGB 是矩形 FGOB2. AB 是 O 的直径，ABBD， BD 是 O 的切线由 (1) 知 CD 是 O 的切线， DBDE. DEBDBE. ABD90，点 F 为 AD 中点， BFFD. DBEFDB. FDBDEB.解图2又 FBDDBE， FBDDBE . BF / BDBD / BE . BD2BFBE.设 BFa，BDn. ABEBFG， AB / BF = BE / FG , 4 / a = BE / 2 , BE = 8 / a , BD2BFBE， n2a 8 / a . n28 . n22 ( 负值舍去 ) BD 的长为 22 .
