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1、第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1 1 第四节 几种特殊类型函数的积分 一有理函数的积分 二三角函数有理式的积分 三简单无理函数的积分 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2 2 1 有理函数的定义 两个多项式的商表示的函数称之为有理函数 一 有理函数的积分 其中都是非负整数 及 都是实数 并且 假定分子与分母之间没有公因式 这样的有理函数称为真分式 这样的有理函数称为假分式 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心
2、动 第四章第四章 不定积分不定积分 3 3 利用多项式除法 假分式可以化成一个多项式和 一个真分式之和 例如 2 将有理真分式化为部分分式之和 1 分母中若有因式 有理函数化为部分分式之和的一般规律 特殊地 分解后为 则分解后为 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 4 4 2 分母中若有因式 则分解后为 特殊地 分解后为 其中 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1将有理分式 化为最简分式之和 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 5 5 第四节第四节
3、 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 6 6 例2 整理得 将有理分式化为最简分式之和 解 所以 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 7 7 解得 所以 真分式化为部分分式之和的赋值法 例3将有理分式化为最简分式之和 解 取取 取 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 8 8 将有理真分式化为部分分式之和后 出现四类情 下面讨论这四种最简单分式的不定积分 3 四类最简单分式的不定积分 况 第四节第
4、四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 9 9 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1010 其中 结论 有理函数的原函数都是初等函数 例4 求积分 解由例1 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1111 例5 求积分 解由例3 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1212 例6 求积分 解 第四节第四节 几种特殊类型函数
5、的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1313 例7 求积分 解原式 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1414 三角有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则 运算构成的函数 二 三角函数有理式的积分 一般记为 令 万能置换公式 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1515 例8 求积分 解由万能置换公式 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分
6、 1616 原式 修改万能置换公式 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1717 例9 求积分 解法1 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1818 解法2修改万能置换公式 令 解法3 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 1919 比较以上三种解法 便知万能置换不一定是最佳 方法 故三角有理式的计算中先考虑其它手段 不得 已才用万能置换 例10 求积分 解 第四节第四节 几种特殊类
7、型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2020 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2121 例11 求积分 解法1 原式 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2222 而 原式 解法2 其中 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2323 三 简单无理函数的积分 1 其中是指由 及常数经过有限次四则运算而得到的函数 令 第四节第四节 几
8、种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2424 例12 求积分 解 令 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2525 2 其中是指由 常数经过有限次四则运算而得到的函数 及 令 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2626 例13 求积分 解 令 第四节第四节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分 醉雪 风随心动 第四章第四章 不定积分不定积分 2727 例14 求积分 解先对分母进行有理化 原式
