《2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题18不等式选讲.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题18不等式选讲.doc(10页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题18不等式选讲1已知函数f(x),M为不等式f(x)2的解集(1)求M;(2)证明:当a,bM时,|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时,由f(x)2得2x0.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围解(1)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(2)由题设可得,f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a1),ABC的面积为(a1)2. 专题1
2、8 不等式选讲由题设得(a1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,)3解不等式|x3|2x1|1.解当x3时,原不等式转化为(x3)(12x)1,解得x10,x3.当3x时,原不等式转化为(x3)(12x)1,解得x,3x.当x时,原不等式转化为(x3)(2x1)2,x2.综上可知,原不等式的解集为x|x24设a,b,c均为正实数,试证明不等式,并说明等号成立的条件5若a、b、c均为实数,且ax22y,by22z,cz22x.求证:a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0,即a0,b0,c0,所以abc0.而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x22x)(y22y)
3、(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0,这与abc0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1、已知函数f(x)|xa|,其中a1.(1)当a2时,求不等式f(x)4|x4|的解集;(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值解(1)当a2时,(2)记h(x)f(2xa)2f(x),则h(x)由|h(x)|2,解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以于是a3【变式探究】已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明:3f(x)3;(2)求不等式f(x)x28x15的解集(1)证明f(x)|x2|x5
4、|当2x5时,32x7a(a0)f(x)a或f(x)a;(2)|f(x)|0)af(x)y.求证:2x2y3.(2)已知实数x,y满足:|xy|,|2xy|,求证:|y|0,y0,xy0,2x2y2(xy)(xy)(xy)【变式探究】(1)若a,bR,求证:.(2)已知a,b,c均为正数,ab1,求证:1.证明(1)当|ab|0时,不等式显然成立当|ab|0时,由0|ab|a|b|,所以.(2)因为b2a,c2b,a2c,故(abc)2(abc),即abc,所以1.【名师点睛】(1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤:作差;分解因式;与0比较;结论关键是代数式的变形能力
5、(2)在不等式的证明中,适当“放”“缩”是常用的推证技巧【锦囊妙计,战胜自我】1含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.2算术几何平均不等式定理1:设a,bR,则a2b22ab.当且仅当ab时,等号成立定理2:如果a、b为正数,则,当且仅当ab时,等号成立定理3:如果a、b、c为正数,则,当且仅当abc时,等号成立定理4:(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1,a2,an为n个正数,则,当且仅当a1a2an时,等号成立易错起源3、柯西不等式的应用例3(xx福建)已知a0,b0,c0,函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值;(2)求a2b2c2的最小值解(1)因
6、为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c,当且仅当axb时,等号成立又a0,b0,所以|ab|ab.即a,b,c时等号成立故a2b2c2的最小值为.【变式探究】已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若p,q,r是正实数,且满足pqra,求证:p2q2r23.【名师点睛】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件【锦
7、囊妙计,战胜自我】柯西不等式(1)设a, b,c,d均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时等号成立(2)设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立1如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集,求实数a的取值范围解设y|x3|x4|,则y的图象如图所示:若|x3|x4|a的解集不是空集,则(|x3|x4|)min1时,不等式的解集不是空集即实数a的取值范围是(1,)2设x0,y0,若不等式0恒成立,求实数
8、的最小值解x0,y0,原不等式可化为()(xy)2.2224,当且仅当xy时等号成立()(xy)min4,4,4.即实数的最小值是4.3若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围解设y|2x1|x2|任意实数x恒成立,所以a2a2.解不等式a2a2,得1a,故a的取值范围为1,4设不等式|x2|a(aN*)的解集为A,且A,A,(1)求a的值;(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解(1)因为A,且A,所以a,且a,解得a.又因为aN*,所以a1.(2)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3,当且仅当(x1)(x2)0,即1x2时取到等号,所以f(x)的最小值为
9、3.5已知f(x)|x1|x1|,不等式f(x)4的解集为M.(1)求M;(2)当a,bM时,证明:2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时,由2x4,得2x|x1|成立,求实数x的取值范围解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2即6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26,66(a2b3c)2,6a2b3c6,存在实数a,b,c,使得不等式a2b3c|x1|成立|x1|6,7x5.x的取值范围是x|7x0.(1)当a1时,求不等式f(x)3x2的解集;(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1,求a的值解(1)当a1时,f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0,所以不等式组的解集为x|x由题设可得1,故a2.8已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时,求不等式f(x)6的解集;(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时,f(x)g(x)3,求a的取值范围解得a2. 所以a的取值范围是2,)