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1、2019-2020年高考数学四海八荒易错集专题18不等式选讲1已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2. 专题1
2、8 不等式选讲由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，)3解不等式|x3|2x1|1.解当x3时，原不等式转化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式转化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式转化为(x3)(2x1)2，x2.综上可知，原不等式的解集为x|x24设a，b，c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件5若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x22x)(y22y)
3、(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.易错起源1、含绝对值不等式的解法例1、已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值解(1)当a2时，(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3【变式探究】已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集(1)证明f(x)|x2|x5
4、|当2x5时，32x7a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)y.求证：2x2y3.(2)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)【变式探究】(1)若a，bR，求证：.(2)已知a，b，c均为正数，ab1，求证：1.证明(1)当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，所以1.【名师点睛】(1)作差法应该是证明不等式的常用方法作差法证明不等式的一般步骤：作差；分解因式；与0比较；结论关键是代数式的变形能力
5、(2)在不等式的证明中，适当“放”“缩”是常用的推证技巧【锦囊妙计，战胜自我】1含有绝对值的不等式的性质|a|b|ab|a|b|.2算术几何平均不等式定理1：设a，bR，则a2b22ab.当且仅当ab时，等号成立定理2：如果a、b为正数，则，当且仅当ab时，等号成立定理3：如果a、b、c为正数，则，当且仅当abc时，等号成立定理4：(一般形式的算术几何平均不等式)如果a1，a2，an为n个正数，则，当且仅当a1a2an时，等号成立易错起源3、柯西不等式的应用例3(xx福建)已知a0，b0，c0，函数f(x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值解(1)因
6、为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立又a0，b0，所以|ab|ab.即a，b，c时等号成立故a2b2c2的最小值为.【变式探究】已知定义在R上的函数f(x)|x1|x2|的最小值为a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正实数，且满足pqra，求证：p2q2r23.【名师点睛】(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件【锦
7、囊妙计，战胜自我】柯西不等式(1)设a， b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立1如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求实数a的取值范围解设y|x3|x4|，则y的图象如图所示：若|x3|x4|a的解集不是空集，则(|x3|x4|)min1时，不等式的解集不是空集即实数a的取值范围是(1，)2设x0，y0，若不等式0恒成立，求实数
8、的最小值解x0，y0，原不等式可化为()(xy)2.2224，当且仅当xy时等号成立()(xy)min4，4，4.即实数的最小值是4.3若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解设y|2x1|x2|任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，4设不等式|x2|a(aN*)的解集为A，且A，A，(1)求a的值；(2)求函数f(x)|xa|x2|的最小值解(1)因为A，且A，所以a，且a，解得a.又因为aN*，所以a1.(2)因为|x1|x2|(x1)(x2)|3，当且仅当(x1)(x2)0，即1x2时取到等号，所以f(x)的最小值为
9、3.5已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x|x1|成立，求实数x的取值范围解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2即6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26，66(a2b3c)2，6a2b3c6，存在实数a，b，c，使得不等式a2b3c|x1|成立|x1|6，7x5.x的取值范围是x|7x0.(1)当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集为x|x1，求a的值解(1)当a1时，f(x)3x2可化为|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集为x|x3或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化为不等式组或即或因为a0，所以不等式组的解集为x|x由题设可得1，故a2.8已知函数f(x)|2xa|a.(1)当a2时，求不等式f(x)6的解集；(2)设函数g(x)|2x1|.当xR时，f(x)g(x)3，求a的取值范围解得a2. 所以a的取值范围是2，)
