高职公共课线性代数 线性代数5

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1、第第5 5章章 向量空间及线性变换向量空间及线性变换 向量空间的概念 5 1 向量空间的基与维数 5 2 线性变换及线性变换的矩阵 5 3 5 1 5 1 向量空间的概念向量空间的概念 5 1 1 5 1 1 向量空间的一般定义向量空间的一般定义 5 1 2 5 1 2 子空间子空间 5 1 1 5 1 1 向量空间的一般定义向量空间的一般定义 在实向量空间在实向量空间RnRn中 我们定义了向量的中 我们定义了向量的 加法和数乘两种运算 即对任意加法和数乘两种运算 即对任意 Rn Rn 有有 Rn Rn 对对 Rn Rn 且且k k R R 有有 k k Rn Rn 称为称为加法和数乘运算具有

2、封闭性加法和数乘运算具有封闭性 定义定义1 1 设设V V是一个非空集合 是一个非空集合 F F为数域 在为数域 在V V 中定义两种运算 一种叫加法 对中定义两种运算 一种叫加法 对 V V 有有 V V 另一种叫数乘 另一种叫数乘 V V k k F F 有有k k V V 且满足下面且满足下面8 8条法则条法则 1 1 加法交换律 加法交换律 2 2 加法结合律 加法结合律 3 3 零元素存在 对零元素存在 对 V V 0 0 0 0 4 4 负元素存在 对负元素存在 对 V V 0 0 称称 为为 的负元 记的负元 记 即即 0 0 5 5 恒等性 恒等性 1 1 八条法则八条法则 这

3、种在元素之间定义了加法和数乘运算且这种在元素之间定义了加法和数乘运算且 满足八条法则的集合满足八条法则的集合V V称为数域称为数域F F上的一个向上的一个向 量空间量空间 若若F F为实数域 称为实数域 称V V为实向量空间 若为实向量空间 若 F F为复数域 称为复数域 称V V为复向量空间 空间为复向量空间 空间V V中的中的 元素统称为元素统称为向量向量 6 6 数乘结合律 数乘结合律 kl kl k l k l k l k l F F 7 7 数乘分配律 数乘分配律 k l k l k k l l 8 k k k 8 k k k 例例1 1 一般实数域一般实数域R R上的上的n n维坐

4、标向量集合构维坐标向量集合构 成的空间记为成的空间记为RnRn 复数域 复数域C C上的上的n n维坐标向量维坐标向量 集合的复向量空间记为集合的复向量空间记为Cn Cn 特别特别n 1 n 1 即全体实即全体实 数数 复数复数 集合集合R R 对通常的加法和数乘运算构 对通常的加法和数乘运算构 成一个成一个实实 复复 向量空间向量空间 向量空间有向量空间有如下性质如下性质 1 1 向量空间的零元素是唯一的 向量空间的零元素是唯一的 2 2 向量空间的任一元素的负元素是唯一的向量空间的任一元素的负元素是唯一的 3 0 3 0 0 0 左边的左边的0 0为数零 为数零 k0 0 kk0 0 k为

5、数 为数 1 1 4 4 若若k k 0 0 则则k 0k 0或或 0 k 0 k为数为数 5 1 2 5 1 2 子空间子空间 定义定义2 2 设设W W是向量空间是向量空间V V的一个非空子集合 的一个非空子集合 若若W W中所有元素对中所有元素对V V中定义的加法和数乘运算中定义的加法和数乘运算 也构成一个向量空间 称也构成一个向量空间 称W W是是V V的一个子空间的一个子空间 例如例如 R3R3中 过原点的平面是中 过原点的平面是R3R3的子空间 的子空间 过原点的直线是平面的子空间 也是过原点的直线是平面的子空间 也是R3R3的子的子 空间空间 判别一个集合是否为向量空间 需要判判

6、别一个集合是否为向量空间 需要判 别加法和数乘运算的封闭性及满足八条法则别加法和数乘运算的封闭性及满足八条法则 但判别空间的子集合 但判别空间的子集合WW是否构成子空间 是否构成子空间 则只要用到加法和数乘的封闭性就行了则只要用到加法和数乘的封闭性就行了 定理定理1 1 设设W W是向量空间是向量空间V V的非空子集合 的非空子集合 W W 是子空间的充要条件是是子空间的充要条件是 1 1 W W 则则 W W 2 k 2 k F F W W 则则k k W W 上面两条件缩写为上面两条件缩写为k1k1 k2 k2 W W 即满足加法即满足加法 与数乘的封闭性与数乘的封闭性 以下给出定理1的证

7、明 证明证明 必要性若 必要性若W W为子空间 则上述两条件为子空间 则上述两条件 显然成立显然成立 充分性若上面两条件成立 即充分性若上面两条件成立 即WW中 加法中 加法 和数乘运算封闭和数乘运算封闭 因为因为WW的元素是向量空间的的元素是向量空间的 元素 故定义元素 故定义1 1中的运算法则中的运算法则 1 1 2 2 5 5 6 6 7 7 8 8 都满足都满足 只要验证只要验证 3 3 4 4 由于由于 W kW k W W 可取可取k 0k 0 则 则 0 0 0 0 W W 满足满足 3 3 式式 再取再取k 1 1 k 1 1 W W 满足满足 4 4 式式 故故WW是一个向量

8、子空间是一个向量子空间 由于向量空间是由于向量空间是RnRn空间的推广 所以前面空间的推广 所以前面 介绍的介绍的n n维向量组的线性相关性 极大无关组维向量组的线性相关性 极大无关组 秩 等价等概念及一些有关的性质都可平 秩 等价等概念及一些有关的性质都可平 移到一般的向量空间中来 以后将直接引用移到一般的向量空间中来 以后将直接引用 这些概念和性质这些概念和性质 5 2 5 2 向量向量空间的基与维数空间的基与维数 除了零空间外 一般的向量空间都有无除了零空间外 一般的向量空间都有无 穷多个向量穷多个向量 我们希望能我们希望能找到尽可能少的有限找到尽可能少的有限 个向量或部分向量来表示一个

9、空间的任一个个向量或部分向量来表示一个空间的任一个 向量向量 定义定义 设设 1 1 2 2 n n 是向量空间是向量空间V V的的n n个个 向量 若向量 若 1 1 1 1 2 2 n n 线性无关线性无关 2 V 2 V中任一向量中任一向量 都可由此向量组线性表 都可由此向量组线性表 即即 k1 k1 1 k21 k2 2 2 kn kn n n V V 则称则称 1 1 2 2 n n为向量空间为向量空间V V的一个基 称的一个基 称n n为为V V的的 维数 记为维数 记为dimV n dimV n 称称V V为为n n维向量空间 并规定零空间的维数为维向量空间 并规定零空间的维数为

10、 0 0 若把向量空间的基与向量组的极大线性无若把向量空间的基与向量组的极大线性无 关组的定义比较 不难发现 若把向量空间关组的定义比较 不难发现 若把向量空间V V 看作一个向量组看作一个向量组V V 则空间 则空间V V的一个基就是向的一个基就是向 量组量组V V的一个极大无关组 空间的一个极大无关组 空间V V的维数就是的维数就是 向量组向量组V V的秩的秩 例例1 1 在在R Rn中 向量组中 向量组 1 1 1 0 1 0 0 0 T 2 2 0 1 0 0 1 0 0 0 T n n 0 0 0 0 0 1 0 1 T是线性无关的 且是线性无关的 且RnRn中任中任 一向量一向量x

11、 xx x 1 1 x x 2 2 x x n n T都可由此向量组线性 都可由此向量组线性 表示 表示 x x x x 1 1 1 1 x x 2 2 2 2 x x n n n n 故故 1 1 2 2 n n 是是RnRn的一个基 的一个基 dimRdimR n n n n 定理定理 n n维向量空间维向量空间V V中任意中任意n n个线性无关的向个线性无关的向 量都是空间量都是空间V V的基的基 证明证明 设设 1 1 2 2 n n是是V V中任意中任意n n个线性个线性 无关向量 又设无关向量 又设 V V 则则 1 1 2 2 n n线性相关 因而线性相关 因而 1 1 2 2

12、n n是向量是向量 组组 1 1 2 2 n n的一个极大无关组 的一个极大无关组 故故 可由可由 1 1 2 2 n n线性表示 即线性表示 即 V V k1 1 k2 2 kn n k1 1 k2 2 kn n 由基的定义知由基的定义知 1 1 2 2 n n是是V V的一个基的一个基 例例2 2 证明证明 1 11 1 2 2 1 1 0 T0 T 2 02 0 1 1 1 1 0 T0 T 3 13 1 0 0 0 0 1 T1 T 4 1 2 0 1 T4 1 2 0 1 T是是R4R4的一个基的一个基 证明证明 因为因为 1 1 2 2 3 3 4 4组成的行列式组成的行列式 所以

13、所以 1 1 2 2 3 3 4 4线性无关 它们是线性无关 它们是 R4R4的一个基的一个基 设向量设向量 1 1 2 2 mm生成的子空间生成的子空间L L 1 1 2 2 rnrn k k 1 1 1 1 k k 2 2 2 2 k kmm mm 若若 1 1 2 2 mm线性无关线性无关 则 则 1 1 2 2 mm就是就是L L 1 1 2 2 mm 的一个基 的一个基 dimL 1dimL 1 2 2 m m m m 若若 1 1 2 2 mm线性相关线性相关 则取其中一 则取其中一 个极大无关组个极大无关组 i1i1 i2i2 ir ir 为为L L的一个基 的一个基 dimL

14、dimL 1 1 2 2 mm r r 例例3 3 设设 1 1 1 1 2 3 T 1 1 2 3 T 2 2 1 1 4 1 1 4 5 T 5 T 3 3 1 3 6 7 T 1 3 6 7 T 求求L L 1 1 2 2 3 3 的一个基的一个基 和维数和维数 解解 把把 1 1 2 2 3 3 按列排成矩阵按列排成矩阵A A 然后用 然后用 初等行变换化初等行变换化A A为阶梯形为阶梯形 故故r A 2r A 2 则则 1 1 2 2 3 3 线性相关 而线性相关 而 1 1 2 2 线性无关 故线性无关 故 1 1 2 2 是是L L 1 1 2 2 3 3 的的 一个基一个基 当

15、然当然 1 1 3 3 也是线性无关 也可取为也是线性无关 也可取为 L L的一个基的一个基 dimL dimL 1 1 2 2 3 3 2 2 对于齐次线性方程组对于齐次线性方程组Ax 0 Ax 0 其中其中A A是是m nm n矩矩 阵 阵 r A r r A r 则解空间则解空间N A N A 的一个基础解系所的一个基础解系所 含有的含有的n rn r个解向量就是个解向量就是N A N A 的一个基的一个基 设基设基 础解系为础解系为x x 1 1 x x 2 2 x xn rn r N A L xN A L x 1 1 x x 2 2 x xn rn r x k x k1x11x1 k

16、 k2x22x2 k k n n rxn rrxn r dimN A dimN A n rn r 则 5 3 5 3 线性变换线性变换及线性变换的矩阵及线性变换的矩阵 5 3 1 5 3 1 线性变换线性变换的概念的概念 5 3 2 5 3 2 线性变换的矩阵线性变换的矩阵 设设V V是一个是一个n n维向量空间 若有某种法则 维向量空间 若有某种法则 使得对于使得对于V V中每一个向量中每一个向量 有唯一的向量有唯一的向量 V V与之对应 这个法则称为与之对应 这个法则称为V V的一个变的一个变 换 记为换 记为 T T T T 称称T T 为为 在变换下的像 在变换下的像 称为称为 的原像的原像 5 3 1 5 3 1 线性变换线性变换的概念的概念 例例1 1 平面直角坐标系中向量垂直投射到平面直角坐标系中向量垂直投射到x x 轴上的投影变换轴上的投影变换T T T T x y x y x 0 x 0 T T把平面把平面R2R2的向量变换为的向量变换为x x轴上的向量轴上的向量 定义设定义设T T是数域是数域F F的向量空间的向量空间V V上的一个变上的一个变 换 若换 若满足下列