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1、.建模示例： 如何预报人口的增长人类社会进入20世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也以空前的规模增长。统计数据显示：年1625183019301960197419871999人口（亿）5102030405060可以看出，人口每增加十亿的时间，由一百年缩短为十二三年。我们赖以生存的地球，已经携带着它的60亿子民踏入21世纪。长期以来，人类的繁殖一直在自发地进行着。只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化，人们才猛然醒悟，开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题。我国是世界第一人口大国，地球上每五个人中就有一个中国人。在20世纪的一段时间内我
2、国人口的增长速度过快，请看：年1908193319531964198219902000人口（亿）3.04.76.07.210.311.312.95有效地控制我国人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。长期以来人们在这方面作了不少工作，下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（以百万为单位），对模型作检验，最后用它预报2010年美国的人口。年人口17903.918005.3
3、18107.218209.6183012.9184017.1185023.2186031.4年人口187038.6188050.2189062.9190076.0191092.01920106.51930123.21940131.7年人口1950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42000281.4表1 美国人口统计数据1) 指数增长模型最简单的人口增长模型使人所共识的：记今年人口为，年后人口为，年增长率为，则 (1)显然，这个公式的基本条件是年增长率保持不变。二百多年前英国人口学家马尔塞斯（Malths，17661834）调查了英国一百多年的人口
4、统计资料，得出了人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。模型建立 记时刻的人口为，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻（）的人口为. 假设人口增长率为常数，即单位时间内的增量等于乘以. 考虑到时间内人口的增量，显然有令，得到满足微分方程： ， (2)有这个方程很容易解出 (3)时(3)式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。年人口17903.918005.318107.218209.6183012.9184017.1185023.2186031.4年人口187038.6188050
5、.2189062.9190076.0191092.01920106.51930123.21940131.7年人口1950150.71960179.31970204.01980226.51990251.42000281.4参数估计 (3)式的参数和可以用表1的数据估计。为了利用简单的线性最小二乘法，将(3)式取对数，可得， (4)以1790年至1900年的数据拟合(4)式，用MATLAB软件计算可得=0.2743/10年，=4.1884. 以全部数据（1790年至2000年）拟合(4)式，得=0.2022/10年，=6.0450.结果分析 用上面得到的参数和代入(3)式，将计算结果与实际数据作比
6、较。表2中计算人口是用1790年至1900年的数据拟合的结果，计算人口是用全部数据（1790年至2000年）拟合的结果，图3、图4是它们的图形表示（+号是实际数据，曲线是计算结果）。可以看出，用这个模型基本上能够描述十九世纪以前美国人口的增长，但是进入20世纪后，美国人口增长明显变慢，这个模型就不合适了。年实际人口计算人口计算人口17903.94.26.018005.35.57.418107.27.29.118209.69.511.1183012.912.513.6184017.116.516.60185023.221.720.30186031.428.624.90187038.637.630
7、.5188050.249.537.3189062.965.145.7190076.085.655.9191092.068.41920106.583.71930123.2102.51940131.7125.51950150.7153.61960179.3188.01970204.0230.11980226.5281.71990251.4344.82000281.4422.1表2 指数增长模型拟合美国人口数据的结果图3 指数增长模型拟合图形图4 指数增长模型拟合图形练习 用1900至2000年的数据拟合指数增长模型，计算并作图，观察结果。历史上，指数增长模型与十九世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可
8、以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口也大致符合这个模型。另外，用它做短期人口预测可以得到较好的结果。显然，这是因为在这些情况下，模型的基本设计人口增长率是常数大致成立。但是长期以来，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述、也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上是在不断地变化着。排除灾难、战争等特殊时期，一般说来，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。表3是用数值微分的三点公式计算的美国人口增长率（/年），可以看到，进入20世纪后增长率明显下降。用平均增长率作为，用指数增长模型描述美国人口的变化，结果当
9、然会与表1的统计数据相差很大。年增长率17902.9518003.1118102.9918202.9718302.9118403.0118503.0818602.45年增长率18702.4418802.4218902.0519001.9119101.6619201.4619301.0219401.04年增长率19501.5819601.4919701.1619801.0519901.0920001.16表3 美国人口增长率（/年）看来，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设21.2) 阻滞增长模型（Logistic模型）模型建立 分
10、析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源、环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增长，阻滞作用越来越大。所谓组织增长模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率的影响上，使得随着人口数量的增加而下降。若将表示为的函数，则它应是减函数。于是方程(2)写作， (5)对的一个最简单的假定是，设为的线性函数，即 (6)这里称固有增长率，表示人口很少时（理论上是=0）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率应，代入(6)式得，于是(6)式为 (
11、7)(7)式的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率.将(7)代入方程(5)得， (8)方程(8)右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了资源和环境对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。如果以为横轴，为纵轴作出方程(8)的图形（图5），可以分析人口增长速度随着的增加而变化的情况，从而大致地看出的变化规律。ox图5 曲线图 xto图6 xt曲线图练习 根据图5 与的关系，分析随的变化情况：较小（从而较小）时和较大（从而较大）时的增长速度有何不同，多大时人口增长最快，时？等，由此你能大致画出的图形吗。
12、实际上，方程(8)可以用分离变量法求解得到 (9)读者可以用计算机画出(9)式的图形，它是一条S形曲线（图6），增加得先快后慢，时，拐点在. 你在上面的联系中画的图形与这个图形一样吗。参数估计 为了利用简单的线性最小二乘法估计这个模型的参数和，我们不用(9)式，而将方程(8)表为 (10)上式左端可以从表1的数据用数值微分计算，右端对参数，是线性的。我们利用1860年至1990年的数据（去掉个别异常数据），用MATLAB软件计算得到=0.2557/10年，=392.0886.参数估计也可以借助专家的经验。例如，某些人口学家估计世界人口的固有增长率=0.029，又知道世界人口在1960年为29.
13、8亿时，增长率是1.85，即=0.0185，于是按照方程(8)，世界人口容量为=29.8(1-0.0185/0.029)=82.3 亿。实际上，20世纪70年代世界人口为40亿左右时增长率达到最大，然后开始下降。注意到阻滞增长模型中时最大，可以看出上述结果的一致性。结果分析 用上面得到的参数和代入(9)式，将计算结果与实际数据作比较，得表4和图7年实际人口计算人口17903.93.918005.35.018107.26.518209.68.3183012.910.7184017.113.7185023.217.5186031.422.3187038.628.3188050.235.8189062.945.0190076.056.2191092.069.7192
