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1、2019年高考数学一轮复习第七章立体几何课时分层作业四十三7.3空间点直线平面之间的位置关系理一、选择题(每小题5分,共35分)1.给出三个命题:若两条直线和一个平面所成的角相等,则这两条直线互相平行;若两条直线与一个平面垂直,则这两条直线互相平行;若两条直线与一个平面平行,则这两条直线互相平行.其中正确的命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【解析】选B.若两条直线与同一个平面所成的角相等,则这两条直线与平面的法向量夹角相等,这些直线构成以法向量为轴的某个对顶圆锥.故错误;两条直线与平面垂直,则这两条直线与平面的法向量平行,则根据公理4,两直线平行,故正确;两条直线与一个平面平行,这两条直
2、线可能异面、平行或相交.故错误.2.下列命题中成立的个数是()直线l平行于平面内的无数条直线,则l;若直线l在平面外,则l;若直线lb,直线b,则l;若直线lb,直线b,那么直线l就平行于平面内的无数条直线.A.1B.2C.3D.4【解析】选A.直线l平行于平面内的无数条直线,包括l和l,故不成立;直线l在平面外,包括l与相交和l,故不成立;直线lb,直线b,包括l和l,故不成立;直线lb,直线b,那么l平行于内与直线b平行的所有直线,所以直线l就平行于平面内的无数条直线,故只有成立.3.有如下三个命题:分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线;垂直于同一个平面的两条直线是平行直线;过平面的一
3、条斜线有一个平面与平面垂直.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.分别在两个平面中的两条直线不一定是异面直线,故错误.此命题是直线与平面垂直的性质定理,故正确.可过斜线与平面的交点作一条垂直于平面的直线,则斜线与垂线所确定的平面即与平面垂直,这样的平面有且只有一个.故正确.所以正确.4.在空间中,下列命题中不正确的是()A.若两个平面有一个公共点,则它们有无数个公共点B.任意两条直线能确定一个平面C.若点A既在平面内,又在平面内,则与相交于直线b,且点A在直线b上D.若已知四个点不共面,则其中任意三点不共线【解析】选B.在A中,若两个平面有一个公共点,则由公理3知它们有
4、无数个公共点,故A正确;在B中,由公理2知,两条平行线或两条相交线能确定一个平面,两条异面直线不能确定一个平面,所以任意两条直线不能确定一个平面,故B错误;在C中,若点A既在平面内,又在平面内,则由公理3知与相交于直线b,且点A在直线b上,故C正确;在D中,假设任意三点共线,则根据“经过一条直线和直线外一点有且只有一个平面”,所以四个点共面,与原题意不符,所以四个点不共面,则其中任意三点不共线,故D正确.5.已知直线l与平面相交但不垂直,m为空间内一条直线,则下列结论一定不成立的是()A.ml,mB.ml,mC.ml,mD.ml,m【解析】选D.设过l和l在平面内的射影的平面为,则当m时,有m
5、l,m或m,故m与不可能垂直,故D错误.【变式备选】若直线a不平行于平面,则下列结论成立的是()A.内的所有直线都与直线a异面B.内不存在与a平行的直线C.内的直线都与a相交D.直线a与平面有公共点【解析】选D.直线a不平行于平面,则a与平面相交或a,所以D正确.6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,|AB|=2,|BC|=|CC1|=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【解析】选C.补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接BD,DC1,则所求角为BC1D或其补角,因为|BC1|=,|BD|=,|C1D|=|AB1|=,因此,cosBC
6、1D=.【误区警示】本题易对两异面直线AB1与BC1所成角找不准导致计算错误.【变式备选】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|AC|=3,|BC|=4,|AB|=5,|AA1|=4,则异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为()A.B.C.D.-【解析】选C.因为直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,AC,BC,CC1两两垂直.如图,建立坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B1(0,4,4),所以=(-3,0,4),=(0,4,4),设异面直线AC1与B1C所成角为,则cos =,所以异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为.7.如果直线
7、AB与平面相交于B,且与内的三条直线BC,BD,BE所成的角相同,则直线AB与平面内和该直线异面的直线所成的角为()A.B.C.D.【解析】选B.由于线面所成的角范围大于等于零度,小于等于90度,那么一条斜线与平面中过斜足的三条直线所成的角都相等,除非是直线AB与平面垂直.所以直线AB与平面内和该直线异面的直线所成的角为.二、填空题(每小题5分,共15分)8.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E,F分别为侧棱PC,PB的中点,则EF与平面PAD的位置关系为_,平面AEF与平面ABCD的交线是_.【解析】由题易知EFBC,BCAD,所以EFAD,故EF平面PAD,因为EFAD,所
8、以E,F,A,D四点共面,所以AD为平面AEF与平面ABCD的交线.答案:平行AD【题目溯源】本题来源于人教A版必修2 P63B组第1题.【变式备选】如图,在四棱锥S-ABCD中, 底面ABCD是正方形,四个侧面都是等边三角形,AC与BD交于点O,E为侧棱SC的中点.则SA与平面BDE的关系是_.【解析】连接OE,因为E,O分别是SC,AC的中点,所以OESA,因为OE平面BDE,SA平面BDE,所以SA平面BDE.答案:平行9.将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱,如图,AOC=120,A1O1B1=60,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与
9、AA1所成的角的大小是_.【解析】设点B1在下底面圆周的射影为B,连接BB1,则BB1AA1,所以BB1C为直线B1C与AA1所成角(或补角),|BB1|=|AA1|=1,连接BC,BO,AOB=A1O1B1=,AOC=,所以BOC=,所以BOC为正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tanBB1C=1,所以直线B1C与AA1所成角大小为45.答案:45【方法技巧】作两条异面直线所成角的方法是:将其中一条直线平移与另一条相交或是将两条异面直线同时平移到某个位置使他们相交,然后在同一平面内求相交直线所成角.提醒:平移后相交线所得的角必须容易算出,因此平移时要求选择恰当位置.10.已知正方体ABC
10、D-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP;对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R;对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP.其中正确的结论是_.(填序号)【解析】只有D1Q平面BCC1B1,即D1Q平面ADD1A1时,才能满足对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP,因为过D1点与平面DD1A1A垂直的直线只有一条D1C1,而D1C1AB,所以错误;当点P与B1重合时,CPAB,且CPAD1,所以CP平面AB
11、D1,因为对于任意给定的点Q,都有D1Q平面ABD1,所以对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q,所以正确;当R与A1重合时,在线段B1B上找不到点P,使CPD1R,所以不正确;只有当CP平面A1CD1时,才正确,所以对于任意给定的点P不存在点R,使D1RCP,故不正确.答案:【变式备选】已知a,b,c为三条不同的直 线,且a平面,b平面,=c.给出下列命题:若a与b是异面直线,则c至少与a,b中的一条相交;若a不垂直于c,则a与b一定不垂直;若ab,则必有ac;若ab,ac,则必有.正确的是_.(填序号)【解析】中若c与a,b都不相交,则ca,cb,故ab,这与a与b是异面直线矛盾,正
12、确;中若,bc,则b,ba,这与a与c是否垂直无关,错;中若ab,则a,又=c,所以ac,正确;中当bc时,与可能不垂直,错.答案:1.(5分)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若=m,n,则nD.若m,mn,n,则【解析】选D.若m,n,则直线m,n可以是平行、相交、异面,所以A不正确.若,m,n,则直线m,n可以是平行或异面,所以B不正确.C选项显然不正确.【变式备选】设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若,m,n,则mnC.若mn,m,n,则D.若m,mn
13、,n,则【解析】选D.构造一个正方体,将各选项中的条件对应于正方体中的线和面,不难知道,A,B,C是典型错误命题.2.(5分)等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为,M,N分别是AC,BC的中点,则EM,AN所成角的余弦值等于 ()A.B.C.D.【解析】选D.如图,点C在平面ABDE内的射影为点O,点F为AB的中点,连接OC,OF,CF,cosCFO=.设正方形的边长为2,|OF|=|CF|cosCFO=1,即点C在平面ABDE内的射影为正方形的中心,那么四棱锥C-ABDE是正四棱锥,所以=(+),=-,即=(+) =-+-=22cos 60-0+22-
14、22cos 60=,而|=,|=,所以cos=,即所求余弦值为.3.(5分)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且ABCD,正方体的六个面所在的平面与直线CE,EF相交的平面个数分别记为m,n,那么m+n=()A.8B.9C.10D.11【解析】选A.由题意可知直线CE与正方体的上底面平行,在正方体的下底面上,与正方体的四个侧面不平行,所以m=4,直线EF与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交,所以n=4,所以m+n=8.4.(12分)给出下列四个命题:平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点;若平面内的一条直线a与平面内的一条直线b相交,则与相交;若一条直线
