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1、习 题 一 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点: (1)掷一颗骰子,记录出现的点数. 出现奇数点; (2)将一颗骰子掷两次,记录出现点数. 两次点数之和为10,第一次的点数,比第二次的点数大2; (3)一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5;从中同时取出3只球,观察其结果,球的最小号码为1; (4)将两个球,随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去,观察放球情况,甲盒中至少有一球; (5)记录在一段时间内,通过某桥的汽车流量,通过汽车不足5台,通过的汽车不少于3台。 解 (1)其中出现点, 。 (2) ; ; 。 (3) (4) ,其中表示空盒; 。 (5)。
2、2设是随机试验的三个事件,试用表示下列事件: (1)仅发生; (2)中至少有两个发生; (3)中不多于两个发生; (4)中恰有两个发生; (5)中至多有一个发生。 解 (1) (2)或; (3)或; (4); (5)或; 3一个工人生产了三件产品,以表示第件产品是正品,试用表示下列事件:(1)没有一件产品是次品;(2)至少有一件产品是次品;(3)恰有一件产品是次品;(4)至少有两件产品不是次品。 解 (1);(2);(3);(4)。 4在电话号码中任取一个电话号码,求后面四个数字全不相同的概率。 解 设任取一电话号码后四个数字全不相同,则 5一批晶体管共40只,其中3只是坏的,今从中任取5只,
3、求 (1)5只全是好的的概率; (2)5只中有两只坏的的概率。 解 (1)设5只全是好的,则 ; (2)设5只中有两只坏的,则 . 6袋中有编号为1到10的10个球,今从袋中任取3个球,求 (1)3个球的最小号码为5的概率; (2)3个球的最大号码为5的概率. 解 (1)设最小号码为5,则 ; (2)设最大号码为5,则 . 7(1)教室里有个学生,求他们的生日都不相同的概率; (2)房间里有四个人,求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 (1)设他们的生日都不相同,则 ; (2)设至少有两个人的生日在同一个月,则 ;或 . 8设一个人的生日在星期几是等可能的,求6个人的生日都集中在一个星期中
4、的某两天,但不是都在同一天的概率. 解 设生日集中在一星期中的某两天,但不在同一天,则 . 9将等7个字母随机地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少? 解1 设恰好排成SCIENCE 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件,所有的排法: 字母在7个位置中占两个位置,共有种占法,字母在余下的5个位置中占两个位置,共有种占法,字母剩下的3个位置上全排列的方法共3!种,故基本事件总数为,而中的基本事件只有一个,故; 解2 七个字母中有两个,两个,把七个字母排成一排,称为不尽相异元素的全排列。一般地,设有个元素,其中第一种元素有个,第二种元素有个,第种元素有个,将这个元素排成一排
5、称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为, 对于本题有. 10从等个数字中,任意选出不同的三个数字,试求下列事件的概率:三个数字中不含0和5,三个数字中不含0或5,三个数字中含0但不含5. 解 . ,或 , . 11将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆,每堆两只,求事件每堆各成一双的概率. 解 双鞋子随机地分成堆属分组问题,不同的分法共每堆各成一双共有种情况,故 12设事件与互不相容,求与 解 因为不相容,所以,于是 13若且,求. 解 由得 14设事件及的概率分别为,求及 解 . 15设,且仅发生一个的概率为0.5,求都发生的概率。 解1 由题意有 ,所以 . 解2 仅发生一个可表示为,故
6、所以 . 16设,求与. 解 ,所以 ,故 ; .所以 17设,试证明 证 因为,所以故 . 证毕. 18对任意三事件,试证. 证 . 证毕. 19设是三个事件,且,求至少有一个发生的概率。 解 因为 ,所以,于是 20随机地向半圆(为正常数)内掷一点,点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率. 解:半圆域如图0yxyxax 设原点与该点连线与轴夹角小于 由几何概率的定义 21把长为的棒任意折成三段,求它们可以构成三角形的概率. 解1 设三段可构成三角形,又三段的长分别为,则,不等式构成平面域.aS 发生Aa/2 不等式确定的子域,所以aa/20 解2
7、 设三段长分别为,则且 ,不等式确定了三维空间上的有界平面域.xzyA 发生 不等式确定的子域,所以 . 22随机地取两个正数和,这两个数中的每一个都不超过1,试求与之和不超过1,积不小于0.09的概率.1yy1y0.90.10yASy 解 ,不等式确定平面域. 则发生的 充要条件为不 等式确定了的子域,故 23(蒲丰投针问题)在平面上画出等距离的一些平行线,向平面上随机地投掷一根长的针,求针与任一平行线相交的概率. 解 设针与某平行线相交,针落在平面上的情况不外乎图中的几种, 设为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角,则ayay ,不等式确定了平面上xy0yAS 的一个区域
8、. 发生,不等式确定的子域 故 习 题 二 1假设一批产品中一、二、三等品各占60%,30%,10%,从中任取一件,发现它不是三等品,求它是一等品的概率. 解 设任取一件是等品 ,所求概率为 ,因为 所以 故 . 2设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件中有一件是不合格品,求另一件也是不合格品的概率. 解 设所取两件中有一件是不合格品 所取两件中恰有件不合格 则 ,所求概率为 . 3袋中有5只白球6只黑球,从袋中一次取出3个球,发现都是同一颜色,求这颜色是黑色的概率. 解 设发现是同一颜色,全是白色,全是黑色,则 ,所求概率为 4从52张朴克牌中任意抽取5张,求在至少有3张黑
9、桃的条件下,5张都是黑桃的概率. 解 设至少有3张黑桃,5张中恰有张黑桃,则 ,所求概率为. 5设求与. 解 . 6甲袋中有3个白球2个黑球,乙袋中有4个白球4个黑球,今从甲袋中任取2球放入乙袋,再从乙袋中任取一球,求该球是白球的概率。 解 设从乙袋中取出的是白球,从甲袋中取出的两球恰有个白球. 由全概公式 . 7一个盒子中装有15个乒乓球,其中9个新球,在第一次比赛时任意抽取3只,比赛后仍放回原盒中;在第二次比赛时同样地任取3只球,求第二次取出的3个球均为新球的概率。 解 设第二次取出的均为新球, 第一次取出的3个球恰有个新球由全概公式 . 8电报发射台发出和的比例为5:3,由于干扰,传送()时失真的概率为2/5,传送时失真的概率为1/3,求接受台收到时发出信号恰是的概率。 解