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1、第二章 守恒定律(law of conservation),本章的主要内容 三个定理： 动能定理 动量定理 角动量定理,三个守恒定律：能量守恒定律 动量守恒定律 角动量守恒定律,补充：,两矢量之间的夹角,（标量）,（矢量）,2.1 功和动能定理,1. 恒力的功,2. 变力的功,足够小：直线代替弧线,均匀,可以看出：功是力在空间的累积,说明： 1) 功是两矢量的点积，即功是标量，但有正负,2) 合力的功等于每个力单独作用的功之和（对质点）,3),4）功的大小一般与路径有关,只有一些特殊力的功例外,状态量,dr,3. 动能定理 (kinetic energy theorem) 3.1 质点动能定理
2、,表述：合力对质点所做的功等于该质点动能的增量（p50）,3.2 质点组动能定理 n个质点 第i 个质点,Ai :作用在第 i 个质点上的所有力的功,表述：作用在质点组上的所有力(内力和外力)的功的代数和等于质点组动能增量（p59）,解：,例2.2: 质点 m=0.5Kg, 运动方程 x= 5t, y = 0.5t2 (SI) ,求从 t=2s 到 t=4s 这段时间内外力所作的功.,用功的定义式,用动能定理,1. A对 与参考系选取无关。,说明：,3. 一对滑动摩擦力的功恒小于零。,（摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果）,在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下，一对力的功必为零。,讨论：
3、一对力的功,2.2 保守力和势能,1.重力的功,重力功只与质点始末位置有关,2.弹性力的功,弹性力的功只与质点始末位置有关,3. 万有引力的功,万有引力的功只与质点始末位置有关,总结：重力、弹力、万有引力的功仅与物体的始末位置有关，而与路径无关,-保守力(conservative force),4.质点组的势能,保守力的功等于系统势能增量的负值。,物体在a 点所具有的势能在数值上等于将物体从该点移到势能为零处保守力所作的功。,以重力为例：,若令弹簧无形变时的弹性势能为零点；,若令无穷远为引力势能零点；,若令地球表面为重力势能的零点；,* 势能函数与相应保守力之间的关系:,只有保守力才有与之相应
4、的势能,势能属于彼此以保守力相互作用的质点系,保守力作(正)功，势能减少；反之，势能增加。,势能同零点选择有关，但势能的增量与之无关,说明：,解:,可见重力势能是万有引力势能在地球表面附近的一个特例,2.3 机械能守恒定律(law of conservation of mechanical energy),1.质点组功能原理(work-energy theorem),设：n个质点组成质点系,作用力,系统的功能原理,-机械能守恒定律,系统：,讨论：,1）动能定理，功能原理及机械能守恒定律仅适用惯性系，在非惯性系中需考虑惯性力作功,但一个封闭系统经历任何变化时，该系统所有能量总和是不变的,系统的功
5、能原理,-机械能守恒,-能量守恒定律,已知: m, vB, R, vA=0 求: Af,(1). 由功的定义解:,(2). 应用动能定理解,以m为研究对象：,外力,(3).应用功能原理解,以m和地球为研究系统:,(以B点为重力势能零点),受力分析,解: 以m1、m2、弹簧、地球为系统,三种宇宙速度,1第一宇宙速度v1:由地面发射使物体m在地面附近环绕地球飞行 所需的最小速度,2第二宇宙速度v2:使物体m脱离地球引力需的最小速度,逃逸速度,3第三宇宙速度v3: 使物体m脱离太阳系所需的最小速度,发射沿公转速度(29.8Km/s)方向,物体对地球,考虑物体同时需脱离地球引力,问题: 如果某星球:,
6、该星球上任何物体都逃不出去,“黑洞”,设想1)把地球变成黑洞,2)把太阳变成黑洞,3)引力理论：转化为黑洞的只能是质量满足一定条件的恒星,2.4 冲量和动量定理,1. 冲量 (impulse),力与力作用时间之积,（2）数学式：,变力冲量：,是力对时间的累积效应,作为过程量,用来度量状态量动量的变化,（3）本质：,（1）定义：,恒力冲量：,冲量的几何意义：冲量I在数值上等于F-t图线与坐标轴所围的面积。,(4)说明:,冲量是矢量，其方向最终由这段时间内所有元冲量矢量和决定。,合力冲量等于各分力冲量之矢量和,平均冲力:,碰撞期间与变力具有相同冲量的恒力,元冲量,0.58Kg篮球从2米高处垂直落下
7、,2.动量定理,（1）质点动量定理(theorem of momentum of a particle),表述：,作用于质点上合外力冲量等于该质点动量的增量,数学表达式：,（2）质点组动量定理,表述：,数学表达式：,合外力的冲量等于质点组动量的增量,对质点i用质点动量定理：,解：,解得：,例2.6 : 一小球与地面碰撞 m, a, v = v, 碰撞时间 t 为已知,求:平均冲力。,如果:m =210-3kg , a = 600 , v = v =5.0 m.s-1,例2.7: 矿砂从传送带 A 落入传送带 B，其速度 v1= 4m/s ,方向与竖直方向成 300 角，而传送带 B 与水平方向
8、成150 角，其速度 v2=2m/s传送带的运送量为 k = 20kg/s . 求：落到传送带 B 上的矿砂所受到的平均力的大小?,这些矿砂的动量增量为：,解：,t内落在传送带B上的矿砂质量为：,由动量定理：,平均力:,2.5 动量守恒定律,在一个物理过程中，只有内力作用的质点组,只在系统内部发生动量传递，而系统的总动量始终保持不变。,（2）数学表达式：,（3）条件：,以两质点组成的系统为例：,（1）表述：,质点组动量定理:,说明：,2.内力的作用虽不能改变系统的总动量,但可改变系统内动量的 分配。,3.动量定理及动量守恒定律仅适用于惯性系,且定理、定律中各 速度都必须对同一个惯性系。,4.定
9、理、定律中各速度都必须对同一个时刻。,5.动量守恒是自然界普遍适用的物理定律，它比牛顿定律更为基本。在微观世界中牛顿定律不再适用，但动量守恒定律仍然正确,6.创造条件:,放大系统，可使动量守恒定律成立,解：设炮弹相对地面的速度为v2,v2在水平方向的投影为,不计地面的摩擦，水平方向动量守恒,例2.8:炮车以仰角 发射一炮弹，炮车和炮弹的质量分别为M和m,炮弹的出口速度(相对于炮车)的大小为u,不计炮车与地面之间的摩擦。试求：炮车的反冲速度v1及炮弹出口后其速度与水平面的夹角,注意,并且,(燃料相对箭体以恒速 u 喷出),初态(t)：系统质量 M，速度v (对地)，动量 M v,火箭不受外力情形
10、（在自由空间飞行）,1.火箭的速度,系统：火箭壳体 + 尚存燃料,总体过程：点火 燃料烧尽,先分析一微过程： t t +dt,末态(t+dt) ：,喷出燃料的质量：dm = - dM,喷出燃料速度(对地)： v - u,火箭壳体 +尚存燃料的质量： M - dm,系统动量：( M- dm)(v + d v) + - dM(v - u) ,火箭壳体 +尚存燃料的速度(对地)：v + d v,由动量守恒: M v = - dM(v - u) +( M- dm)(v + d v ),火箭的飞行原理:,经整理得：M dv = -u dM,速度公式：,讨论：提高 v 的途径 (1) 提高 u（现可达 u
11、 = 4.1 km/s）,采用多级火箭（一般为三级）,资料：长征三号（三级大型运载火箭） 全长：43.25m， 最大直径：3.35m， 起飞质量：202吨，起飞推力：280吨力。,(2) 增大 （受一定限制）,t +dt时刻：速度 v - u， 动量dm(v - u),由动量定理，dt 内喷出气体所受冲量,2. 火箭所受的反推力,研究对象：喷出气体 dm,t 时刻：速度v (和主体速度相同)，,动量 v dm,F箭对气dt = dm(v - u) - vdm = - F气对箭dt,火箭所受燃气的反推力为,重力场中的火箭发射,忽略地面附近重力加速度 g 的变化,例2.9 光滑斜面M( )置于光滑
12、水平面上,当m滑到底端时,斜面M的速度和移动的距离?,解:,设 为m相对于M的速率,判断:,正确,正确,关于加速度大小, 联立:,t时刻:,1.恢复系数：,2.三种不同类型碰撞的分析,完全弹性碰撞,2.7 碰 撞 (Collision),按机械能损失程度大小来分:,(完全)弹性碰撞 /完全非弹性碰撞/ 非(完全)弹性碰撞,由碰撞物体的材料决定,(1)(2),讨论：,1.若:m1=m2 则: v1=v20 v2=v10 速度互换,完全非弹性碰撞,非完全弹性碰撞,讨论：,若: v20=0,打桩: 桩m2, 锤m1 m2m1,打铁: 锻件+铁砧m2, 锤m1 m2m1,讨论:,1. 已知小球m2 固
13、定, m1以 v10 碰m2, 碰后 v1=-v10, 则碰撞是否为完全弹性? m1和 m2 体系动量是否守恒?,完全弹性,m2 受外力,动量不守恒,2. 测定材料碰撞的恢复系数的方法: 两种材料: 一种制成小球, 一种制成平板, 测出小球落下和弹起的高度,碰前:,碰后:,解:,1.尘埃、飞船系统作完全非弹性碰撞,系统动量守恒,式中m,v为t时刻飞船的速度和质量,t - t+dt:,飞船在尘埃中飞行时间越长,速度就越慢,2.,问题1:,物理量？,问题2:,守恒定律？,地球受到太阳的引力，为什么没有落到太阳上，而是保持在一定的轨道上周而复始的运动？,1.质点的角动量（动量矩）(angular m
14、omentum of a particle）,定义：质点对固定点的矢径与动量的叉积,角动量的本质是动量对某点(通常指定点)取矩,因此必须指明角动量是相对于哪一个定点取矩。,质点作圆周运动：,对圆心的角动量：,2.8 质点角动量定理和角动量守恒定律,2.质点的角动量定理,（1）定理的微分式,质点所受合外力矩等于其角动量对时间变化率,(moment of force),质点所受冲量矩等于其角动量的变化,力矩(冲量矩)是角动量改变的原因!,（2）角动量定理积分式,3.质点角动量守恒定律(law of conservation of angular momentum),表述:若合外力矩为零，则质点的角动量守恒,条件：,外力通过固定点,质点不受外力或所受合外力为0,例2.11 讨论锥摆的角动量,对O点：,合力矩不为零，角动量变化,合力矩为零，角动量大小、方向都不变,（合力不为零，动量改变！）,对 点：,第二章 小 结,内力和外力,外力,例: 一质量为m的质点其运动方程为: 为常数),分析该质点 (对坐标原点)是否守恒?,解:,或:,
