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1、2019-2020年高二数学上 第7章数列学案（1） 沪教版高考在考什么【考题回放】1设数列an的首项a17，且满足an1an2（nN），则a1a2a17 153 .2设Sn是等差数列an的前n项和，若，则( A )（A） （B） （C） （D）3已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于（C）（A）55 （B）70（C）85（D）1004在等比数列中，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ C ）(A) (B) (C) (D) 5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”设an是公比为q的无穷等比数列，下列an的四组量中：S1与S2； a
2、2与S3； a1与an； q与an其中一定能成为该数列“基本量”的是第 组(写出所有符合要求的组号)6设数列an的首项，且，记（I）求a2，a3；（II）判断数列bn是否为等比数列，并证明你的结论；（III）（理）求【专家解答】（I）a2a1+= a+，a3=a2 =a+；（II） a4 = a3+=a+， a5=a4=a+，所以b1=a1=a， b2=a3= (a)， b3=a5= (a)，猜想：bn是公比为的等比数列证明如下： 因为bn+1a2n+1=a2n= (a2n1)=bn， (nN*) 所以bn是首项为a， 公比为的等比数列（III）（理）高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及等差
3、（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和【热点透析】高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏其中小题主要考查间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论突破重难点【范例1】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk = 2550() 求a及k的值； () 求()解析（）设该等差数列为an，则a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，Sk = 2550由已知得a3a = 24， 解得a1 = a =
4、 2，公差d = a2a1= 2 由得 ，解得 k = 50 a = 2，k = 50 （）由得Sn= n (n1)， ， 【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法【文】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项解析 由已知得， 即 ，解得或 或 经验证 或 均满足题意，即为所求【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列本题是以此背景设计此题【范例2】已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列an的通项an .解析 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得
5、a1=2或a1=3 又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当a1=3时，a3=13，a15=73 a1， a3，a15不成等比数列a13;当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的
6、求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【文】已知等比数列的前项和为，且（1）求、的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和解析 （1）当时，而为等比数列，得，即，从而 又（2）， 两式相减得，因此，【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：， 已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等记第i行第j列的数为aij ( ij， i， jN*)(1) 求a83；(2) 试写出a ij关于i， j的表达式；(3) 记第n行的和为An，求解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。又成等比数列，且又公比都相等，每
7、行的公比是 （2）由（1）知，（3）【点睛】在新颖背景数表中运用数列知识【文】在等比数列a n中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列 （1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明解析（）逆命题：在等比数列an中，前n项和为Sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 （）设an的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1 2a1qm+1=a1+a1qm a10 q0 ，2q2q1=0 ， q=1或q=当q=1时，Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a
8、1，Sm+1= (m+1)a1，Sm+Sm+12 Sm+2， Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=时， ，Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q1时，逆命题为真【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处【范例4】已知数列在直线x-y+1=0上（1） 求数列an的通项公式；（2）若函数求函数f (n)的最小值；(3)设表示数列bn的前n项和 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立?若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由 解析 （1）在直线x-y+1
9、=0上 （2） ，（3）， 故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式第（3）小题的探索性设问也是本题的升华【变式】设数列是等差数列，（）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；（）当时，若满足，使得是等比数列，求数列的通项公式解析（）设公差为，则由，得成等比数列， 解得故成等比数列 （），故又是等比数列，则，又，【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容自我提升1在等差数列中，则（ A ）（A） （B） （C） （D）-1或12（理）已知数列的值为（ C ）（A） （B） （C）1 （D）2（文）直角三角形三边
10、成等比数列，公比为，则的值为（ D ）（A） （B） （C） （D）3设a n为等差数列，a 10 ，a 6+ a 70， a6 a 70成立的最大自然数n是（ B ） （A）11 （B）12 （C）13 （D）14 4三个数成等比数列，且，则的取值范围是（ D ）（A） （B） （C） （D） 5令a n为的展开式中含xn项的系数，则数列a n的前n项和为_6这是一个计算机程序的操作说明：（1）初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；（2）nn+1（将当前n+1的值赋予新的n）（3）x = x+2（将当前的x=2的值赋予新的x）（4）y =2 y （将当前2y的值赋予新的y）（5）z = z
11、 + x y（将当前z+xy的值赋予新的z）（6）如果z7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；（7）打印n，z；（8）程序终止由语句（7）打印出的数值为n=8，z=76827已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上（） 求数列的通项公式；（） 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；解析 （）设二次函数f (x)ax2+bx (a0)，则=2ax+b，又=6x2，得a=3 ， b=2， 所以 f(x)3x22x又因为点均在函数的图像上，所以3n22n当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5当n1时，a1S1312261
12、5，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）因此，要使（1）（）恒成立的m，必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10 【文】设等差数列an的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn. ()若a11=0,S14=98,求数列an的通项公式；()若a16，a110，S1477，求所有可能的数列an的通项公式.解析：（）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=2,a1=20.因此，an的通项公式是an=222n,n=1,2,3（）由得即由+得7d11。即d. 由+得13d1，即d.于是d， 又dZ,故d=1，将代入得10a112.又a1Z, 故a1=11或a1=12.所以，所有可能的数列an的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3, 8（理）数列的前项和满足：（1）求数列的通项公式；（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由解析：（1）当时有：两式相减得： 数列是首项6，公比为2的等比数列从而 （2）假设数列中存在三项，它们可以构成等差数列， 因此只能是，即 、均为正整数，（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。因此数列中不存在可以构成等差数列的三项。【文】在等差数列中，前项和满足， （）求数列的通项公式；
