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1、 弘第七章实数的完备性林642“g“教学目标:1理解确界定理、区间套定理、第七章实数的完备性$1关于实数集完备性的基本定理一区间套定理与柯西收敛准则定义1“区间套:设a,:5,是一闭区间序列,若满足条件1对y,有【a5二a5即a与a0一古,即当-乙时区间长度趋于零则称该闭区间序列为闭区间套,简称为区间套.2区间套还可表达为:餮-心诊人一e一与Q三人世Q世心一心世日世心世D与D。D一a一0:l我们要提请大家注意的是,这里涉及两个数列a.和5.,其中a递增,B造湘例如【-,和(0与都是区间套,但n+CD-l+21、7凤0羞和一王:1十毒都不是.P一“区间套定理2_卜蹇撕1区间套定理设a,.5是一闭
2、区间套,则在实数系!中存在督一的点6,使对Vn有$ea,.8,简言之,区间套必有唯口公共烨二聚点定理与有限覆盖定理定义设E是无穷点集“若在点$(未必属于)的任何邻域内一有万的无穷多个点则称点$为友的一个联点.数集互二王有唯聚点0,但08Bi历开区间(0.1)的全体联点之集是闭区间0.1;1-标余-2一门定理-732(eierstrass)任一有界数列必有收敛子列.2聚点原理:肾ferstrass聚点原理Th6每一个有界无穷点集必有联点.1.列紧性;亦称为肾ierstrass收敛子列定理四.Cauchy收敛准则一一数列收敛的充要条件:1基本列:回顾基本列概念,基本列的直观意义,基本列亦称为Cau
3、chy列.例1验证以下两数列为Cauchy列:(Dz二0.9sin0.9十0.92sinJ0.9十+0.97Sin0.9.2园ECDY,352一1l-伟.十人十0.977s切0.9|一一1x二i一|0.9s0。三0团朐十+0.99770.9吊十目十09十l玟井10x0.9“71-0.9CDe201十D)一e当p为偶数时,注意到上式给对值符号内有偶数项和下式每个指号均为正号,有111王伟一一一27十127+3202+P)-11111二-丨-E2十12一327十527+7L02士P)32(0+p)-11。r一2n+12n+3201+7)-1国河一1。2十12十327+5夔7-心诊人.ag阮1国国巳
4、吴园口201心)-520木切3丿20z+D)-112n41当P为奇数时与1120+D)-1工-20+刀520z+刀一3腾111120n+1人20+32n+52古-320z+D)工11三27H1综上,对任何自然数p,有二011十_十(D11仁曰zC力)厂歹白勺否定二佛x=心,驹HF&FIfj一是Cuch刑超证对w,取p=有e)25一200+7)-120+1。1Cauchyr收敛原理:Th4数列a,收敛心a,是Cauchr列.(要求学生复习函数极限、函数连续的Cauc5r准则,荠以Cauchr收敛厨理为依据,利用ine归芯厨则给出证明)五,致宿性定理:六,Ueine-Bore7有限复盖定理:1复盐:先介绍区间族G=7:.XSA.10-心诊3人|
