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1、 1 全等三角形培优竞赛讲义（一） 知识点 全 等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等 寻找对应边和对应角，常用到以下方法： (1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边 (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角 (3)有公共边的，公共边常是对应边 (4)有公共角的，公共角常是对应角 (5)有对顶角的，对顶角常是对应角 (6)两个全等的不等边三角形中一对最长边 (或最大角 )是对应边 (或 对应角 )，一对最短边 (或最小角 )是对应边 (或对应角 ) 要想正确地表示两个三角
2、形全等，找出对应的元素是关键 全等三角形的判定方法： (1) 边角边定理 (SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 (2) 角边角定理 (ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 (3) 边边边定理 (SSS)：三边对应相等的两个三角形全等 (4) 角角边定理 (AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等 (5) 斜边、直角边定理 (HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 全 等三角形的应用： 运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线 拓展关键点： 能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段
3、间的位置关系和大小关系而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础 例题精讲 板块一、截长补短 【例 1】 (06 年北京中考题 )已知 ABC 中， 60A ， BD 、 CE 分别平分 ABC 和 . ACB ，BD 、 CE 交于点 O ，试判断 BE 、 CD 、 BC 的数量关系，并加以证明 DOECBA4321FDOECBA【解析】 BE CD BC， 理由是：在 BC 上截取 BF BE ，连结 OF ， 利用 SAS 证得 BEO BFO ， 12 ， 60A ， 19 0 1 2 02B O C A ， 120DOE， 180A DOE ， 180A E O A
4、 D O ， 1 3 180 ， 2 4 180 ， 12 ， 34 ， 利用 AAS 证得 CDO CFO ， CD CF ， B C B F C F B E C D 2 【例 2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点 (点 B 除外 )，作60DMN ，射线 MN 与 DBA 外角的平分线交于点 N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系 ? NEBMADGNEBMAD【解析】 猜测 DM MN .过点 M 作 MG BD 交 AD 于点 G ， AG AM ， GD MB 又 120A D M D M A ， 120D M A NMB ADM NMB ，而
5、120D G M M B N ， DGM MBN ， DM MN 【变式拓展训练】如图，点 M 为正方形 ABCD 的边 AB 上任意一点， MN DM 且与 ABC外角的平分线交于点 N ， MD 与 MN 有怎样的数量关系？ NCDEBMANCDEBMA【解析】 猜测 DM MN .在 AD 上截取 AG AM ， DG MB ， 45AGM 135D G M M B N ， ADM NMB ， DGM MBN ， DM MN 【例 3】 已知：如图， ABCD是正方形， FAD= FAE. 求证： BE+DF=AE. FEDCBAMFEDCBA【解析】 延长 CB至 M，使得 BM=DF
6、，连接 AM. AB=AD， AD CD， AB BM， BM=DF ABM ADF AFD= AMB， DAF= BAM AB CD AFD= BAF= EAF+ BAE= BAE+ BAM= EAM AMB= EAM AE=EM=BE+BM=BE+DF. 3 【例 4】 以 ABC 的 AB 、 AC 为边向三角形外作等边 ABD 、 ACE ，连结 CD 、 BE 相交于点 O 求证： OA 平分 DOE FAB CDEOOEDCBA【解析】 因为 ABD 、 ACE 是 等 边 三 角 形 ， 所 以 AB AD ， AE AC ，CAE 60BAD， 则 BAE DAC ，所以 BA
7、E DAC ， 则有 ABE ADC ， AEB ACD ， BE DC 在 DC 上截取 DF BO ，连结 AF ，容易证得 ADF ABO ， ACF AEO 进而由 AF AO 得 AFO AOF ； 由 AOE AFO 可得 AOFAOE ，即 OA 平分 DOE 【例 5】 (北京市、天津市数学竞赛试题 )如图所示， ABC 是边长为 1的正三角形， BDC是顶角为 120 的等腰三角形，以 D 为顶点作一个 60 的 MDN ，点 M 、 N 分别在 AB 、 AC 上，求 AMN 的周长 NMDCBAEAB CDMN【解析】 如图所示，延长 AC 到 E 使 CE BM . 在
8、 BDM 与 CDE 中，因为 BD CD ， 90M B D E CD ， BM CE ， 所以 BDM CDE ，故 MD ED . 因为 120BDC， 60MDN，所以 60B D M ND C . 又因为 BDM CDE ，所以 60M D N E D N . 在 MND 与 END 中， DN DN ， 60M D N E D N ， DM DE ， 所以 MND END ，则 NE MN ，所以 AMN 的周长为 2 . 【例 6】 五边形 ABCDE中， AB=AE， BC+DE=CD， ABC+ AED=180 ， 求证： AD平分 CDE CEDBAABDEFC 4 【解析
9、】 延长 DE至 F，使得 EF=BC，连接 AC. ABC+ AED=180， AEF+ AED=180 ABC= AEF AB=AE， BC=EF ABC AEF EF=BC， AC=AF BC+DE=CD CD=DE+EF=DF ADC ADF ADC= ADF 即 AD 平分 CDE. 板块二、全等与角度 【例 7】 如图，在 ABC 中， 60BAC ， AD 是 BAC 的平分线，且 AC AB BD，求 ABC 的度数 . 【解析】 如图所示，延长 AB 至 E 使 BE BD ，连接 ED 、 EC . 由 AC AB BD知 AE AC ， 而 60BAC，则 AEC 为等边
10、三角形 . 注意到 EAD CAD ， AD AD ， AE AC ， 故 AED ACD . 从而有 DE DC ， DEC DCE ， 故 2B E D B D E D C E D E C D E C . 所以 20D E C D CE ， 60 20 80A B C B E C B CE . 【另解】在 AC 上取点 E ，使得 AE AB ，则由题意可知 CE BD . 在 ABD 和 AED 中， AB AE ， BAD EAD ， AD AD ， 则 ABD AED ，从而 BD DE ， 进而有 DE CE ， ECD EDC ， A E D E C D E D C 2 ECD
11、. 注意到 ABD AED ，则： 13 1 8 0 1 2 022A B C A C B A B C A B C A B C B A C ， 故 80ABC . 【点评】由已知条件可以想到将折线 ABD “拉直”成 AE ，利用角平分线 AD 可以构造 全等三角形 .同样地，将 AC 拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的 . 需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想 . 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法 . 【例 8】 在等腰 ABC 中， AB AC ，顶角 20A ，在边 AB 上取点 D ，
12、使 AD BC ，求 BDC . 【解析】 以 AC 为边向 ABC 外作正 ACE ，连接 DE . 在 ABC 和 EAD 中， AD BC ， AB EA ， 2 0 6 0E A D B A C C A E 80 ABC ， 则 ABC EAD . 由此可得 ED EA EC，所以 EDC 是等腰三角形 . 由 于 20A E D B A C ， 则 6 0 2 0 4 0C E D A E C A E D ， 从而 70DCE， 70 60 10D CA D CE A CE ， 则 2 0 1 0 3 0B D C D A C D C A . ED CBAED CBAD CBADCB
13、AEDCBA 5 【另解 1】以 AD 为边在 ABC 外作等边三角形 ADE ，连接 EC . 在 ACB 和 CAE 中， 60 20CA E A CB ， AE AD CB， AC CA ， 因此 ACB CAE ， 从而 CAB ACE ， CE AB AC. 在 CAD 和 CED 中， AD ED ， CECA ， CD CD ， 故 CAD CED ， 从而 ACD ECD ， 2C A B A C E A C D ， 故 10ACD ，因此 30BDC . 【另解 2】如图所示，以 BC 为边向 ABC 内部作等边 BCN ，连接 NA 、 ND . 在 CDA 和 ANC 中， CN BC AD， 20CAD， A C N A C B B C N 80 60 20， 故 CAD ACN ， 而 AC CA ，进而有 CDA ANC . 则 10A CD CAN ， 故 30B D C D A C D CA . 【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、角度之间的关系 . 【例 9】 (“勤奋杯”数学邀请赛试题 ) 如图所示，在 ABC 中， AC BC ， 20C ，又 M 在 AC 上， N 在 BC 上，且满足 5
