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1、2019-2020年高三9月质量抽测数学试题参考公式:棱锥的体积VSh,其中S为底面积,h为高一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分请把答案填写在答题纸相应位置上1 已知集合A1,3,B1,2,m,若AB,则实数m 2 若(12i)iabi(a,bR,i为虚数单位),则ab 3 某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2:3:5,现用分层抽开始x1,y1,n1nn2x3xyy2n4YN输出(x,y)结束(第5题图)样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A种型号的产品有16件,那么此样本的容量n 4 在大小相同的4个小球中,2个是红球,2个是白球,若从中随机抽取2个球
2、,则所抽取的球中至少有一个红球的概率是 5 已知某算法的流程图如图所示,则程序运行结束时输出的结果为 6 已知,则 7 已知一个正六棱锥的高为10cm,底面边长为6cm,则这个正六棱锥的体积为 cm38 已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若a318,S326,则an的公比q 9 已知实数x,y满足则的最大值是 10在曲线的所有切线中,斜率最小的切线的方程为 11已知直线ya与函数及函数的图象分别相交于A,B两点,则A,B两点之间的距离为 12已知二次函数的值域是1,),则的最小值是 OABC(第13题图)13如图,A,B是半径为1的圆O上两点,且AOB若点C是圆O上任意一点,则的
3、取值范围为 14已知a,b,c是正实数,且abcacb,设,则p的最大值为 二、解答题:本大题共6小题,共90分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15(本小题满分14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且C120(1)求角A;(2)若a2,求c16(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,四边形ABCD为正方形,PA平面ABCD,E为PDPABCDE(第16题图)的中点求证:(1)PB平面AEC;(2)平面PCD平面PAD17(本小题满分14分)在一个矩形体育馆的一角MAN内(如图所示),用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域,已知B
4、是墙角线AM上的一点,C是墙角线AN上的一点(1)若BCa10,求储存区域三角形ABC面积的最大值;ABCMND(第17题图)(2)若ABAC10,在折线MBCN内选一点D,使DBDCa20,求储存区域四边形DBAC面积的最大值18(本小题满分16分)已知椭圆E:的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:过A,F2两点(1)求椭圆E的方程;(2)设直线PF2的倾斜角为,直线PF1的倾斜角为,当时,证明:点P在一定圆上19(本小题满分16分)已知函数(1)讨论函数的单调区间;(2)设,当a1时,若对任意的x1,x21,e(e是自然对数的底数),求实数b的取值范围20(本小题满分16分)设
5、,其中为非零常数,数列an的首项a11,前n项和为Sn,对于任意的正整数n,anSn(1)若k0,求证:数列an是等比数列;(2)试确定所有的自然数k,使得数列an能成等差数列附加题21(选做题)本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。A选修41:几何证明选讲(本小题满分10分)已知ABC中,AB=AC,D是ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至点E。求证:AD的延长线平分CDEB选修42:矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵 (1)求A的逆矩阵A1; (2)求A的特征
6、值和特征向量。C选修44:坐标系与参数方程(本小题满分10分) 已知曲线C的极坐标方程为,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为为参数),求直线l被曲线C截得的线段长度。D选修45,不等式选讲(本小题满分10分) 设必做题第22题、第23题,每题10分,共计20分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写也文字说明、证明过程或演算步骤。22(本小题满分10分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是AC的中点,E是线段D1O上一点,且D1E=EO (1)若=1,求异面直线DE与CD1所成的角的余弦值; (2)若平面CDE平面CD1O,求的值。23(本小题满分10分
7、)已知整数的所有3个元素的子集记为A1,A2,AC。 (1)当n=5时,求集合A1,A2,AC中所有元素之和; (2)设mi为Ai中的最小元素,设参考答案1、32、33、804、5、(27,5)6、 7、308、39、510、y3x111、12、3 13、 14、15、解:由余弦定理,得:sinAcosC-sinBcosC=sinCcosB-sinCcosAsinAcosC+sinCcosA=sinCcosB+sinBcosCsin(A+C)=sin(B+C)sinB=sinA B=A=30a=2,则b=2c=a+b2abcosC=4+4222()=12 c=216、(1)证明: 连BD,AC
8、交于O。 ABCD是正方形 AO=OC, OC=AC 连EO,则EO是三角形PBD的中位线。 EOPB EO平面AECPB平面AEC (2):PA平面ABCD CDPA ABCD是正方形 ADCD CD平面PAD 平面PAD平面PCD17、(1)因为三角形的面积为倍ABAC,所以当AB=AC时其值才最大,可求得为25(2)求四边形DBAC面积可分为ABC跟BCD两个三角形来计算,而ABC为定值可先不考虑,进而只考虑三角形BCD的面积变化,以BC为底边,故当D点BC 的距离最长时面积取得最大值。因为DB+DC=a=20总成立,所以点D的轨迹是一个椭圆,B、C是其两交点,结合椭圆的知识可以知道只有
9、当D点在BC的中垂线上时点D到BC的距离才能取得最大值,再结合题意四边形DBAC刚好是一个边长为10的正方形,其面积为10018. 解:(1)圆与轴交点坐标为,故,所以,椭圆方程是:(2)设点P(x,y),因为(,0),(,0),设点P(x,y),则tan,tan,因为,所以tan()因为tan(),所以化简得x2y22y3所以点P在定圆x2y2-2y3上19、解:0,得,(a)当a0时,f(x)x,在(,)上是增函数。(b)当a0时,f(x)在(,a),(2a,)上是增函数,在(a,2a)上是减函数。(c)当a0时,f(x)在(,2a),(a,)上是增函数,在(2a,a)上是减函数。20、【
10、证】(1)若,则即为常数,不妨设(c为常数)因为恒成立,所以,即而且当时, , 得 若an=0,则,a1=0,与已知矛盾,所以故数列an是首项为1,公比为的等比数列 【解】(2)(i) 若k=0,由(1)知,不符题意,舍去 (ii) 若k=1,设(b,c为常数),当时, , 得 要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有(常数),而a1=1,故an只能是常数数列,通项公式为an =1,故当k=1时,数列an能成等差数列,其通项公式为an =1,此时(iii) 若k=2,设(,a,b,c是常数),当时, , 得 ,要使数列an是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有,且d=2a,考虑到
11、a1=1,所以故当k=2时,数列an能成等差数列,其通项公式为,此时(a为非零常数) (iv) 当时,若数列an能成等差数列,则的表达式中n的最高次数为2,故数列an不能成等差数列综上得,当且仅当k=1或2时,数列an能成等差数列21、曲线C为:x2y24y0,圆心(0,2),半径为2,直线l为:xy10,圆心到直线的距离为:d直线被曲线C载得的线段长度为:222【解】(1)不妨设正方体的棱长为1,以为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0),D1(0,0,1),E, 于是,.由cos.所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为. (2)设平面CD1O的向量为m=(x1,y1,
12、z1),由m0,m0得 取x11,得y1z11,即m=(1,1,1) . 由D1EEO,则E,=.又设平面CDE的法向量为n(x2,y2,z2),由n0,n0.得 取x2=2,得z2,即n(2,0,) .因为平面CDE平面CD1F,所以mn0,得2 23、(1)当n=5时,含元素1的子集中,必有除1以外的两个数字,两个数字的选法有=6个,所以含有数字1的几何有6个同理含2,3,4,5的子集也各有6个,于是所求元素之和为(1+2+3+4+5)=615=90(5分)(2)证明:不难得到1min-2,miZ,并且以1为最小元素的子集有个,以2为最小元素的子集有个,以3为最小元素的子集有,以n-2为最小元素的子集有个。则