“误”中有道“悟”中明理

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1、1“误”中有道， “悟”中明理浅谈对数学错误资源的开发与利用【摘 要】在数学教学中我们随时可以见到学生的错误资源，但往往时间的原因大多数教师没有加以深究；学生则由于学业任务的繁重，没有时间去每题纠错，这样势必造成了大量资源白白的流逝本文笔者想借一道测试题目中出现的错误加以深究与互动，引导师生如何更好地利用与开发这些错误资源，能让错误资源 “落地生根” 、 “枝繁叶茂”之态势【关键词】误看 误写 误思 编题1 探索历程展示学习完了圆锥曲线，笔者对学生进行了章节测试，其中测试卷中有这样一道题目：设 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 1F2142yx)1,0(B（）若 是该椭圆上的一个动点，求 的最大

2、值和最小值；P12PF（）若 为椭圆上异于 B 一点，且 ，求 的值；CC（）设 是该椭圆上的一个动点，求 的周长的最大值在批改试卷的过程中，笔者发现学生有如下一些问题的典型解法，大致归类如下：（）解：记 ， ， ，则由题知：1Fm2n12,cos2,42n， （下面该类学生就没做下去了） 1（） 、 ，设 C（ ） ，则 、),0(B3,0F0x， y1(3,)BF，由 得 ，易知： 103,Cxy 11B112C3 2 4423（）好多学生都是空白的，不会做为此，笔者特对如上解法的学生进行了一次访谈，让他们讲讲当时是如何做此题的或是如何思考的最后，让笔者大吃一惊的是：做出（）的解法学生是“

3、误看”了（以为与以前做过的一道题目一样的） ；做出（）的解法学生是“误写”了；（）没解出来，考试时还认为是不是题目出错了“误思”了，是否应该求 的面积的最大值？1PBF（因为面积最大值类型很熟悉）于是，笔者在试卷讲评课时就专门挑了本题做了重点讲评，并借此题对椭圆中几乎所有问题的学习情况进行了一次大检阅上课伊始，笔者就先抛出（） “误看”了的解法，让学生自主纠正，在七嘴八舌的讨2论中，好多学生找到了“误看”的源头把 = ，然后，学生甲自告12PF12PF奋勇地给出了正解的解答过程：（）易知 ，所以 ,设 ,则2,13abc123,0xy，12,PFxyxy 221384因为 ，故当 ，即点 为椭

4、圆短轴端点时， 有最小值 ；,x0P12PF当 ，即点 为椭圆长轴端点时， 有最大值 12F本来，笔者紧接着说第（）题的，突然，学生乙抛出这样一个问题：“老师！某某同学没解完的，我把他解下去了 ”话题自然而然地转到了错解上，笔者就先让他到黑板上当一回小老师他的解法如下：（）记 ， ， ，则由题知：1m2n12，得， ，,12cos2,42nmcosn当 P 运动到 B 时， 的张角最大，此时 ，0 ，即， 2，01cs ， minmax43笔者，首先表扬了这位同学的学习精神，并顺口说：“那大家由此编一个题目，好吗？”不一会儿，学生就说出了：改为求 的最值即可笔者笑了笑说：“原来！还12PF挺环

5、保的大家都能变废为宝，编出了一道好题，真是有意栽花花不发，无心插柳柳成阴 ”（学生在赞叹声中兴趣盎然，没等我说完就开始新的旅程了 ）学生丙也迫不及待地脱开而出， “老师！我把某某同学误写了的那道题也解出来 ”笔者顺势就把舞台交给了他，结果这位中等生讲讲头头是道，并写出精彩的过程：（）设 （ ） ，C0x， y由 得， ，又 ，)1,0(B3,0F11CFB1,)1(300yx 142所以得 ，解得， （ 舍去） 笔者又追问了一句：“按误2677写了的那道题的意思，同学们能否也编一道题目来 ”不一会儿，那个自己“误写”的创始人就编出此题：若 C 为椭圆上异于 一点，且 ，求 的值；不过，没过11

6、BCF一会儿，就冒出了钻牛角尖的同学，说道：“ 要去掉，因为条件说 C 为椭圆上异于B 一点 ”（此时，沸腾的教室霎时凝固了下来，同学们都在渴求早一点寻找答案 ）当然，笔者还是把这个绣球抛还给课堂的主人翁们进行讨论解决其间，笔者也抛出了自己的一个疑问：“该同学的解法中有句话，易知： ，你们全都认同吗？23123”最后，学生发现虽然 不行，但由于椭圆的对称性，取 的对称点)1,0(B),0(B时，则 因此， 不需要去掉至于 学生还回)1,0( 1CF忆了焦半径的推导方法难能可贵的是还有个学生点出了原第（）题与编出来的题它们两者存在着一般与特殊的关系，也就是 点转到与 、 同一直线即那个编的题目的

7、情C1形基于此，笔者就引导学生如何求出 点坐标呢？学生们就很快地想到联立直线 的1BF方程与椭圆的方程，把问题化归到直线与椭圆的位置关系问题上解决可是，笔者还是觉3得这样收口不很满意，于是对学生提供的解题过程进行了优化，并点出了解析几何中常把斜着的线段之比化归为垂直于坐标轴的线段之比，这样本题只要求出 的纵坐标即可教C师若这样长期的训练与引导，可以使解析几何中有些看似特技的使用成为学生必然的习惯停顿了一两分钟后（目的是给学生充分反思的机会） ，看了看没什么问题了，笔者就带学生进入第（）题的思考中根据课前的访谈，笔者随口问了一句：“你们认为题目有问题的请举手 ”结果不出所料，大部分学生举手教师追

8、问：“为什么这样想？”学生的答案是：不会做啊，若改成求 的面积的最大值就 OK 了既然，学生都这么急切要1PBF改成求 的面积的最大值，笔者就顺从学生的意思了，你们求求看呗结果有了第1PBF（）题那个联立直线 的方程与椭圆的方程（法）的铺垫，学生一会儿就真得解出1了答案笔者在表扬的同时，又肯定地表示了原题没有错，关键是方法你们能不能想得到，并不断地鼓励学生大胆试试看，做到那里思路不通了呢巡视了几圈，笔者发现大多学生写出如下的情况： ，接下去就做不下了此1112PBFCPBF时，笔者听到又有几个学生窃窃私语：“不对啊，是不是求最小值啊？”于是，笔者就请了几位这样想法的同学到黑板前板演： 1 12

9、CPBF，所以 （此时，更多的学生加入了赞成行列，都在暗124BF1min4PBF暗自喜，这下老师又错了 ）见时机已成熟，笔者就追问道：“等号成立吗？不要那么大意，等检验好了再向我发飚吧 ”（学生这种怀疑精神是值得肯定的，居然在我那么肯定了此题没错的情况又提出了自己的见解 ）其实，教师稍加点拨、引导，利用两边之和目标是求最小值，而利用两边之差则就可以求最大值，那本题原本是之和如何转化为之差呢？那问题就不难而解了解答如下：（）记 ， 2(3,0)F111 226()PBFCPBFPBF，当且仅当 P 点位于直线 BF2 与椭圆的交点处时， 周长最大，6B8 1最大值为 2 教学感悟在不知不觉中，

10、一堂试卷讲评课就这样很快地过去了，看看学生还沉醉于这种沉思的氛围中，还有几个学生好像又发现了什么别的新问题（课后笔者又进行了一访谈，有学生提出：把 改为椭圆内一定点，而 仍是该椭圆上的一个动点，求 的最)1,0(BPPBA值 ） ，笔者也有点恋恋不舍，最后点了几位同学谈了谈本节课的收获其实，在学生谈收获之时，笔者也有很多感悟，借此与同行们共鸣2.1 感悟一：借误发挥大丰收在平时的教学中，学生的错误资源是比比皆是、琳琅满目，但是如何用好这些错误资源，借力打力，却值得一线教师好好斟酌用得其所，则事半功倍，会成为一堂课的“亮点” ，让学生收获颇多上述中学生的三个“误看” 、 “误写” 、 “误思”资

11、源，对知识的碰撞与发生、体系的梳理与构建，乃至情感、态度与价值观的内化与落实有着不可估量的作用因此，教师不能低估这些鲜活的、随手可得的资源，要对学生的错误资源多问几个为什么？多想想学生这么会是这样想的？朝这样方向思考真得不行了吗？甚至思考这些的产生与自己平时的教学行为有直接关联吗？总之，平时教学教师要做到从小处着手，大处着想，那师生的课堂将会是一桌丰盛的家肴，应有尽有，学生会各取所需，满载而归，这样方能满足新课程所提出的“让不同的人在数学上得到不同的发展”的理念 2.2 感悟二：探索编题好方向编题教学的引入旨在开拓学生的思维能力、培养丰富的想像能力，它真是践行提高创新能力的一种重要方法与手段在

12、实际的课堂教学中它能营造出良好的学习氛围，激发学生的学习兴趣，活跃课堂气氛，激活学习状态从“做题”到“讲题”再到“编题” ，不但4实现了学生学习角色的转变，而且能把学生从“学习数学就等同于数学解题”长期来的误区中解放出来，让学生当一回“小老师” ，抒发一下自己的情感，并从中获得对问题的深刻理解，不断促进解决新问题的能力因子的生成和积聚，最终达到元认知能力的本质提高上述中学生的三个“误看” 、 “误写” 、 “误思” ，其实为我们提供了编题的好方向，师生可以顺着这种所谓错误的想法另辟蹊径，从而改变题目条件或所求的结论等，编出新的题目，让学生切实体会到“我也行，我也能编题目” 2.3 感悟三：提高

13、实效重生成“没有生成的课堂肯定不是好的课堂” 新课程倡导让学生带着问题进课堂，同时带着问题出课堂这足以说明生成的重要性其实在本节课的这三个“误看” 、 “误写” 、 “误思”的追寻中不断地生成了丰富的课堂资源，以至于生成的内容覆盖了椭圆中的大部分内容笔者在课堂中因势力导充分地发挥了学生的主体地位，及时地捕捉了这些生成的元素，并进行了有序的组织、调控与放大，让每个学生都高兴地参与到数学活动中来，让每个学生的智慧细胞都迸发光芒，从而达到了以点带面的复习实效因此，课堂教学既不是无轨的电车，随意预设，也不只是在轨道中前行，僵硬而没有创造性，它应是规范与自由、预设与生成、现实与可能、确定与不确定之间的动

14、态演进课堂教学中的生成资源，需要教师充分发挥“信息重组者” 、 “学习指导者”等作用，充当活动信息向教学资源转化的 “催化剂” ，最终进行合理、有效的引领，实现师生生命在课堂中的真正涌动与成长 “一切皆有可能” ，让课堂充满生命的活力，这是课堂的理想，也是理想的课堂，是课堂教学理念对传统的超越，更是新的追求！ 12.4 感悟四：点拨问题切要害在以学生为主体、教师为主导的课堂教学中，教师引领者的身份很重要那教师在什么时候、什么地方进行怎样的恰如其分的引领，值得每一位数学教师认真地思考在现实的数学课堂教学中，学生出现思维的短路或断路那是常有的事，而此时此刻就需要教师进行必要的点拨，教师要点拨在学生

15、思维的十字路口或在学生错误的路程上，教师要点拨在学生思维的“最近发展区”内通过这样的点拨尝试让学生自己悟一悟，通一通，从而达到“要知其然不知其所以然知” ，这样既起到指明思考方向的作用又起到催化思维的功效，长此以往方能形成星火燎原之态势如第（）题的点拨：“等号成立吗？不要那么大意，等检验好了再向我发飚吧 ”就起到了峰回路转的效果，从而使目标“求最小值问题”顺利地转化为目标“求最大值问题” 2.5 感悟五：提供平台展才华课堂是学生学习的主阵地，是师生生命交流的主场所教师要在课堂上为全体学生搭建好一个“共同学习，自主发展”的平台，要让每一位学生都有机会登台说一说、写一写、议一议，因为这些方式都是学生成长、思维痕迹展示的好手段、好平台，也是教师随时调整自己教学策略的重要依据，是生成性资源的发源地所以教师绝不能因为进度、内容等因素，而随意地压缩、甚至删减学生在这方面的自主时间，我们要深信：“给学生一个小舞台，学生会还我们一片大天空 ”