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1、第十一章 无穷级数 11 1 常数项级数 一 常数项级数的概念及基本性质 二 正项级数及其审敛法 三 任意项级数 一 常数项级数的概念及基本性质 1 常数项级数的概念 定义 给定一个数列将各项依 即次相加 简记为 称上式为无穷级数 其中第 n 项叫做级数的一般项 级数的前 n 项和 称为级数的部分和 收敛 则称无穷级数 并称 S 为级数的和 记作 当级数收敛时 称差值 为级数的余项 则称无穷级数发散 显然 例1 讨论等比级数 又称几何级数 q 称为公比 的敛散性 解 1 若 从而 因此级数收敛 从而 则部分和 因此级数发散 其和为 2 若 因此级数发散 因此 n 为奇数 n 为偶数 从而 综合
2、 1 2 可知 时 几何级数收敛 时 几何级数发散 则 级数成为 不存在 因此级数发散 此时 如果级数 是发散的 解 例2 说明调和级数 是收敛的 则 但 所以 级数是发散的 例3 判别下列级数的敛散性 解 1 所以级数 1 发散 2 所以级数 2 收敛 其和为 1 2 无穷级数的基本性质 说明 级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 即 性质1 若级数收敛于 S 则各项 乘以常数 c 所得级数也收敛 其和为 c S 即 性质2 设有两个收敛级数 则级数 也收敛 其和为即 说明 若两级数中一个收敛一个发散 则 必发散 但若两级数都发散 不一定发散 例4判别下列级数的敛散性 如果收敛 求其和 解 1
3、 因为均收敛 所以 收敛 且和为 2 因为收敛 发散 发散 性质3 在级数前面加上或去掉有限项 不会影响级 数的敛散性 性质4 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级 数的和 证 设收敛级数若按某一规律加括弧 则新级数的部分和序列 为原级数部分和 序列 的一个子序列 推论 若加括弧后的级数发散 则原级数必发散 因此必有 例如 例5 判断级数的敛散性 解 考虑加括号后的级数 发散 从而原级数发散 注意 1 并非级数收敛的充分条件 例如 调和级数 虽然但此级数发散 2 若级数的一般项不趋于0 则级数必发散 设级数性质5 收敛级数的必要条件 则必有 收敛 例6 说明下列级数是发散的 解 1 所以原级
4、数是发散的 2 所以原级数是发散的 二 正项级数及其审敛法 若 定理1 收敛的充要条件是 则称为正项级数 正项级数部分和 有界 序列 都有 证 设对一切 分别表示级数 且存在 则有 1 若级数则级数收敛 也收敛 2 若级数则级数发散 也发散 定理2 设是两个正项级数 对一切有 常数 k 0 因在级数前加 减有限项不改变其敛散性 故不妨 部分和 则有 1 比较审敛法 1 若级数则 因此有界 由定理 1 可知 则由 1 可知 2 若级数收敛 收敛 也收敛 从而级数 有界 也收敛 级数 这与发散矛盾 例7 讨论讨论 p 级级数 的敛敛散性 解 所以 p 级数发散 而调和级数发散 因为对一切 1 若
5、2 若 因为当时 而 即级数收敛 所以 p 级数收敛 故 p 级数 收敛 发散 例8 判别别下列级级数的敛敛散性 解 1 而 发散 所以 原级数发散 2 所以原级数收敛 收敛 而 3 4 收敛 而 所以原级数收敛 收敛 而 所以原级数收敛 则有推论1 设两正项级数满足 两个级数同时收敛或发散 1 当 0 l 时 2 当 l 0 收敛时 且也收敛 3 当 l 发散时 且 也发散 推论2 设正项级数 且 1 如果 则级数收敛 2 如果 则级数发散 例9 判别下列级数的敛散性 解 1 2 收敛 3 4 收敛 例10 判别级数的敛散性 解当时 当时 发散 当时 收敛 发散 也收敛 例11 设正项级数
6、收敛 证明 级数收敛 证因为收敛 所以 由于 故收敛 2 比值审敛法 D alembert审敛法 定理3 设 为正项级数 且则 1 当时 级数收敛 2 当 或 时 级数发散 说明 当时 级数可能收敛也可能发散 此时时比值值判别别法失效 例如 例12 判别别下列级级数的收敛敛性 解 收敛 发散 发散 解 例13 判别级数 的收敛性 3 根值审敛法 Cauchy审敛法 定理4 设 为正项级数 且则 1 当时 级数收敛 2 当 或 时 级数发散 所以原级数发散 4 积分审敛法 在定理5 设上是非负递减的连续函数 则正项级数与广义积分同时收敛 或者同时发散 例14 判别级数的敛散性 解 发散 三 任意
7、项级数 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 定理6 Leibnitz判别法 则该交错级数收敛 若 满足条件 余项满足 1 交错级数 且和满足 证 又 故级数收敛于S 且 故 余项 因此 例15 判别别下列级级数的敛敛散性 解 1 且所以 收敛 2 所以原级数收敛 又 故在上递减 证 显然根据比较审敛法收敛 且 令 2 绝对收敛与条件收敛 定理7收敛 则若也收敛 也收敛 所以又 注 发散 一般地如 但是若用比值或根值审敛法判定 发散 发散 未必有 则可以 断定发散 对任意项级数若 若 收敛 收敛 则称绝对收敛 则称原级 数 条件收敛 定义 收 敛 发散 绝对 收敛 条件 收敛 发散 而 原级数 例16 判别下列级数敛散性 如果收敛指出是条件 收敛 还是绝对收敛 解 1 收敛 所以收敛且绝对收敛 2 所以发散 而 且 条件收敛 3 发散 4 所以 发散
