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1、 选学内容:全微分方程一、全微分方程及其求法二、积分因子法一、全微分方程及其求法考虐对称形式的一阶微分方程PGo)dr+0(r0)口=0.如果存在可微函数x(x,)使得qu(r)=P(r)dqr+Q(rX)心则称方程P(xr,y)qr+QO(x,y)y=0为全微分方程.如,xae+zdy=0D后xGom)=壹(X+J2),则qu(r,)=xdtt+Q因此,(1)是全微分方程.口判别一阶微分方程是全微分方程的有效方法:当函数Pe,0(r)在单连通域G内具有一阶进续偏导数时,方程P)dt+OG加dy=0是全微分方程的充要条件是6P60a8r口全微分方程解法:设PCr)ar+O(r)=0是全微分方程
2、法一:应用曲线积分与路径的无关性.通解为“x(x,)二C;其中,x(r,)=L(X)Qpe+工O(Co)(或vr力=Q(xro,D)dy+乙)a2)法二:用直接凑全微分的方法.例1求(Sx+3xy*-W)d4x+(3x2y-3xry*+72)4y三0的通解解:e67T0故,原方程是全微分方程.取x=0,=0,见(为卫)一I二39zx十(3x*y-3z“+)0=v十豆Tz尸一二_十王汀艾=)李个刀J23I此,原方程的通解为0Gu0兄57a1芸十豆苋_y_X十二y二C23个例2求方程(x+卫)qx-工qy=0的通解步牌:印-1-的87“(用凑微分法求通解)将方程写为x踝x_鲫=,故,这是一个全微分
3、方程.02i一1口)3节2E故原方程的通解为量x_里=CE例3求方程(x:-3xy)dqk+(-3x*)dy=0的通解.解“二=-6xy=,故,原方程是全微分方程.8xXM(x,)二I富(斑3一3xV“)Qx十竟J丁y仁24“8。原方程的通解为音_乏Y又十一例4求方程兰de+八一求_dy=0的通解)洱8P_6x_607解西-是全微分方程,3x7将左端重新组合一山+(2Xdr_32水永了22=4C白+4CKJ)=4(-+永了小水月原方程的通解为+一C:四)二、积分因子法问题:如何求一阶微分方程(x+J)dx-xay=0的通解?分析:方程(xs+y7)4x-xdy=0不是全微分方程.但若在方程两边同乘一,原方程就成为例2的形式,1于就变成一个全微分方程.对一个非全微分方程,若有一个适当的函数x=A(xr,00)使得x(x,y)P(r,)4x+U(r,)Q(ry)=0是一个全微分方程,则称r,0)是原方程的积分因子.9问题:如何求非全微分方程的积分因子?在简单情况下,求积分因子可凭观察和经验得到.常用的微分倒推式:04xtdqy=d4(x土7)(2)xqy+ydx=d(X)(3)xQx+VQH=锗(量触Z十Z)yqx-xdoCD0-a(丁)J永口一一EE
