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1、2019-2020年高中数学重点中学第5课时实数与向量的积（2）教案湘教版必修2教学目的：1了解平面向量基本定理；2掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法；3能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达教学重点：平面内任一向量都可以用两个不共线非零向量表示教学难点：平面向量基本定理的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向2向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、等表示；3零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫
2、零向量， 长度为1个单位长度的向量，叫单位向量4平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行向量、平行，记作5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量7向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法向量加法的三角形法则和平行四边形法则8向量加法的交换律：+=+9向量加法的结合律：(+) +=+ (+)10向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a - b = a + (-b) 11差向量的意义： = a, = b, 则= a - b 即a - b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量12实数
3、与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；0时与方向相反；=0时=13运算定律 结合律：()=() 分配律：(+)=+ (+)=+ 14 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=二、讲解新课：(共面向量定理)平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1，2使=1+2探究：(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一1，2是被，唯一确定的
4、数量三、讲解范例：例1 已知向量， 求作向量-25+3作法：（1）取点O，作=-25 =3 （2）作 OACB，即为所求-25+3例2 如图 ABCD的两条对角线交于点M，且=，=，用，表示，和 解：在 ABCD中 ， =+=+ ，=-=- =-=-(+)=-，=(-)=-=+=-=-=-+例3已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，求证：+=4 证明：E是对角线AC和BD的交点 =- ,=- 在OAE中，+=同理 += ， += ，+=以上各式相加，得 +=4例4如图，不共线，=t (tR)用,表示 解：=t =+=+ t =+ t(-)=+ t-t=(1-t) + t 四、
5、课堂练习：1设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有Ae1、e2一定平行 Be1、e2的模相等C同一平面内的任一向量a都有a=e1+e2(、R)D若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a=e1+ue2(、uR)2已知矢量a=e1-2e2,b=2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c=6e1-2e2的关系A不共线 B共线 C相等 D无法确定3已知向量e1、e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,则x-y的值等于A3 B-3 C0 D24若a、b不共线,且a+b=0(,R)则= ,= 5已知a、b不共线,且c=1a+2b(1,2R),若c
6、与b共线,则1= 6已知10,20,e1、e2是一组基底,且a=1e1+2e2,则a与e1_,a与e2_(填共线或不共线)参考答案：1D 2B 3A 4 0 0 5 0 6不共线 不共线五、小结 平面向量基本定理，其实质：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合六、课后作业：1如图，平行四边形ABCD中，H、M是AD、DC之中点，F使BFBC，以、为基底分解向量与分析：以，为基底分解与，实为用与表示向量与解：由H、M、F所在位置有：=+=+=+=，2如图，O是三角形ABC内一点，PQBC，且，求与分析：由平面几何的知识可得APQABC，且对应边的比为，转化向量的关系为：，又由于已
7、知和未知向量均以原点O为起点，所以把有关向量都用以原点O为起点的向量来表示，是解决问题的途径所在解：PQBC，且，有APQABC，且对应边比为（），即转化为向量的关系有：，又由于：，（）（）（）,（）（）(）七、板书设计（略）八、课后记：1注意图形语言的应用用向量法解平面几何问题，实质上是将平面几何问题的代数化处理，在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译例1 如图，已知MN是ABC的中位线，求证：MNBC且MNBC分析：首先把图形语言：M、N是AB、AC的中点翻译成向量语言：，然后再把向量的一种语言转化为向量的另一种语言，即（）最后又将向量语言翻译成图形语言就是：MNBC且MNBC2向量法
8、应用例2已知平行四边形ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AECF证明：因为E、F为DC、AB的中点，由向量加法法则可知：，四边形ABCD为平行四边形，（），AECF强化训练：1下面向量a、b共线的有（ ）(1)a=2e1,b=-2e2 (2)a=e1-e2,b=-2e1+2e2(3)a=4e1-e2,b=e1-e2 (4)a=e1+e2,b=2e1-2e2 (e1、e2不共线)A (2)(3) B (2)(3)(4) C (1)(3)(4) D (1)(2)(3)(4)2设一直线上三点A、B、P满足=(1),O是空间一点,则用 、表示式为（ ）A =+ B =+(1-) C = D
9、3若a、b是不共线的两向量,且=1a+b, =a+2b(1、2R),则A、B、C三点共线的充要条件为（ ）A1=2=-1 B1=2=1 C12+1=0 D12-1=04若a=-e1+3e2,b=4e1+2e2,c=-3e1+12e2,则向量a写为1b+2c的形式是 5已知两向量e1、e2不共线,a=2e1+e2,b=3e1-2e2,若a与b共线,则实数= 6设平面内有四边形ABCD和点O, =a, =b, =c, =d,a+c=b+d,则四边形ABCD的形状是 7设、不共线,点P在O、A、B所在的平面内,且=(1-t) +t(tR),求证A、B、P三点共线8当不为零的两个向量a、b不平行时,求使pa+qb=0成立的充要条件9已知向量a=2e1-3e2,b=2e1+3e2,其中e1、e2不共线,向量c=2e1-9e2,问是否存在这样的实数、,使d=a+b与c共线?参考答案：1A 2C 3D 4- b+c 5- 6平行四边形7 (略) 8p=q=0 9存在,=-2能使d与c共线
