《高等应用数学下 提升模块1线性代数 项目3 线性方程组解的讨论》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等应用数学下 提升模块1线性代数 项目3 线性方程组解的讨论（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高 等 应 用 数 学 提升模块一 线性代数 项目介绍 线性方程组在工程技术和生活中的经济问题 里常用到 因此线性方程组的求解就非常重要 前 面学习了克莱姆法则 但应用克莱姆法则解线性 方程组有限制条件 方程组中方程的个数和未知 数的个数相等 而且系数行列式还不能等于零 但实际问题得到的方程组不一定就满足这些条 件 克莱姆法则就无法应用 如何解这样的线性 方程组 将通过本项目的学习得到解决 项目三 线性方程组解的讨论 n任务一 高斯消元法 n任务二 n维向量及其线性关系 n任务三 线性方程组解的结构讨论 项目三 线性方程组解的讨论 任务一 高斯消元法 任务一 高斯消元法 如何求解上述线性方程组
2、呢 例1 用消元法解线性方程组 解 分析上述消元法解方程组的过程 可归结为是对 方程组的增广矩阵进行下述初等行变换的过程 任务一 高斯消元法 最后一个矩阵对应的线性方程组为 即该方程组的解为 此时 上述用矩阵求解线性方程组的方法称为高斯消元法 任务一 高斯消元法 任务一 高斯消元法 任务一 高斯消元法 例3 用高斯消元法解线性方程组 解 因为 最后一个矩阵对应的线性方程组为 任务一 高斯消元法 定理1 如果元线性方程组满足 1 时 方程组只有唯一一组解 2 时 方程组有无数多组解 3 时 该方程组无解 定理2 如果元齐次线性方程组满足 1 时 方程组只有零解 2 时 方程组有无数多组非零组解
3、任务一 高斯消元法 定理1 定理2 因此 可利用矩阵的初等行变换解线性方程组的步 骤是 1 写出线性方程组的增广矩阵 2 把做初等行变换 将化为行最简阶梯阵 3 写出以为增广矩阵对应的同解方程组 4 判断是否有解 有解 得到的解就是所求线性方 程组的解 任务一 高斯消元法 一 n维向量 二 向量的线性运算 三 向量组的线性相关性 四 向量组的秩 任务二 n维向量及其线性关系 一 n维向量 任务二 n维向量及其线性关系 定义1 任务二 n维向量及其线性关系 定义2 定义3 任务二 n维向量及其线性关系 定义4 二 向量的线性运算 任务二 n维向量及其线性关系 定义5 任务二 n维向量及其线性关系
4、 定义6 解 由向量的运算法则 方程组可表示为 若记 方程组可以表示为向量形式 任务二 n维向量及其线性关系 三 向量组的线性相关性 任务二 n维向量及其线性关系 定义7 定义8 任务二 n维向量及其线性关系 定理1 定理2 向量组线性相关的充要条件是向量组中至少 有一个向量可以用其它向量线性表示 特别 1 一个零向量必线性相关 一个非零向量必线性无 关 2 含有零向量的向量组必线性相关 3 向量组 称为 维基本行向量组 该向量组线性无关 任务二 n维向量及其线性关系 定理2 向量组 称为 维基本列向量 组 该向量组线性无关 四 向量组的秩 任务二 n维向量及其线性关系 定义9 任务二 n维向
5、量及其线性关系 定义10 利用向量组 为列向量可以作对应 矩阵 的特征 把求向量组的秩转化为 求对应矩阵的秩 任务二 n维向量及其线性关系 因此求向量组的一个极大无关组的步骤可归纳为 1 以向量组为列向量可以作对应矩阵 2 用初等行变换将 化为阶梯形矩阵 进一步化为 最简阶梯形矩阵 3 最简阶梯形矩阵中只含有1个元素1对应的列所在 位置对应的向量组 构成所求的极大无关组 任务二 n维向量及其线性关系 例7 求下列向量组的一个极大无关组及秩 并把剩 余向量用此极大无关组表示 解 写出对应矩阵 任务二 n维向量及其线性关系 任务二 n维向量及其线性关系 一 齐次线性方程组解的结构 二 非齐次线性方
6、程组解的结构 任务三 线性方程组解的结构讨论 一 齐次线性方程组解的结构 任务三 线性方程组解的结构讨论 齐次线性方程组解的解具有下列性质 任务三 线性方程组解的结构讨论 任务三 线性方程组解的结构讨论 定义1 任务三 线性方程组解的结构讨论 定理1 任务三 线性方程组解的结构讨论 二 非齐次线性方程组解的结构 任务三 线性方程组解的结构讨论 任务三 线性方程组解的结构讨论 定理2 任务三 线性方程组解的结构讨论 例 解非齐次线性方程组 解 该方程组的增广矩阵 任务三 线性方程组解的结构讨论 所以 即该方程组有无数多组解 且对应的齐次方程组的 一个基础解系的解向量个数为 又因为最后一个矩阵对应的齐次方程组为 任务三 线性方程组解的结构讨论 任务三 线性方程组解的结构讨论 任务三 线性方程组解的结构讨论
