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1、1必考解答题模板成形练(二)立体几何(建议用时：60 分钟)1如图，在四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知平面 AA1C1C平面 ABCD，且AB BC CA ， AD CD1.3(1)求证： BD AA1；(2)若 E 为棱 BC 的中点，求证： AE平面 DCC1D1.证明(1)在四边形 ABCD 中，因为 BA BC， DA DC，所以 BD AC，又平面 AA1C1C平面 ABCD，且平面 AA1C1C平面 ABCD AC，BD平面 ABCD，所以 BD平面 AA1C1C，又因为 AA1平面 AA1C1C，所以 BD AA1.(2)在三角形 ABC 中，因为 AB AC，且 E 为
2、 BC 中点，所以 AE BC，又因为在四边形ABCD 中， AB BC CA ， DA DC1，3所以 ACB60， ACD30，所以 DC BC，所以 AE DC，因为 DC平面DCC1D1， AE平面 DCC1D1，所以 AE平面 DCC1D12. 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， BC平面 PAB， APB90，PB BC， N 为 PC 的中点(1)若 M 为 AB 的中点，求证： MN平面 ADP；(2)求证：平面 BDN平面 ACP.2证明(1)设 AC BD G，连接 NG， MG，易知 G 是 AC， BD 的中点，又 N 是 PC 的中点， M 为
3、 AB 的中点， NG PA， MG AD，平面 GMN平面 APD.又 MN平面 GMN， MN平面 APD.(2) BC平面 PAB， AP平面 PAB， BC PA， APB90， BP PA. BC BP B， PA平面 PBC， BN PA. PB BC，点 N 为 PC 的中点， BN PC. PC PA P， BN平面 ACP.又 BN平面 BDN，平面 BDN平面 ACP.3. 如图，已知 PA矩形 ABCD 所在平面， E， F 分别是 AB， PC 的中点(1)求证： EF平面 PAD；(2)求证： EF CD；证明(1)取 PD 的中点 G，连接 AG， FG.因为 FG
4、 为 PCD 的中位线，所以 FG CD，且 FG CD，123又 AE CD，且 AE CD，12所以 AE FG，且 AE FG，故四边形 AEFG 为平行四边形，所以 EF AG.又 AG平面 PAD， EF平面 PAD，所以 EF平面 PAD.(2)因为 PA平面 ABCD， CD平面 ABCD，所以 PA CD.在矩形 ABCD 中， AD CD，又 PA AD A，所以 CD平面 PAD.因为 AG平面 PAD，所以 CD AG.又 EF AG，所以 EF CD.4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， AB2 BC4， ABC120， E， M 分别为 AB， DE 的中点，将
5、ADE 沿直线 DE 翻折成 A DE，连接 A C， A B， F 为 A C 的中点， A C4.(1)求证：平面 A DE平面 BCD；(2)求证： FB平面 A DE.证明(1)由题意得 A DE 是 ADE 沿 DE 翻折而成， A DE ADE. ABC120，四边形 ABCD 是平行四边形， A60.又 AD AE2， A DE 和 ADE 都是等边三角形连接 A M， MC. M 是 DE 的中点， A M DE， A M .3在 DMC 中， MC2 DC2 DM22 DCDMcos 604 21 2241cos 60， MC .13在 A MC 中， A M2 MC2( )2( )24 2 A C2.3 13 A MC 是直角三角形， A M MC.又 A M DE， MC DE M， A M平面 BCD.又 A M平面 A DE，平面 A DE平面 BCD.4(2)取 DC 的中点 N，连接 FN， NB. A C DC4， F， N 分别是 A C， DC 的中点， FN A D.又 N， E 分别是平行四边形 ABCD 的边 DC， AB 的中点， BN DE.又 A D DE D， FN NB N，平面 A DE平面 FNB. FB平面 FNB， FB平面 A DE.
