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1、1必考解答题模板成形练(五)数列(建议用时：60 分钟)1已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 2Sn1 an.(1)求数列 an的通项公式；(2)记 bnlog an，数列 bn的前 n 项和为 Tn，求证 2.13 nk 11Tk解(1)当 n1 时，2 S11 a1,2a11 a1， a1 ；13当 n2 时，Error!两式相减得 2an an1 an(n2)，即 3an an1 (n2)，又 an1 0， (n2)，anan 1 13数列 an是以 为首项， 为公比的等比数列13 13 an n1 n.13 (13) (13)(2)由(1)知 bnlog n n，13(13) T
2、n123 n ，n2 n2 nk 11Tk 212 223 2n n 12 (112 12 13 1n 1n 1)2 2.(11n 1)2数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a12，且 Sn Sn1 2 n(n2， nN *)(1)求 Sn；(2)是否存在等比数列 bn满足 b1 a1， b2 a3， b3 a9？若存在，求出数列 bn的通项公式；若不存在，说明理由解(1)因为 Sn Sn1 2 n，所以有 Sn Sn1 2 n 对 n2， nN *成立，即 an2 n 对 n2 成立，又 a121.2所以 an2 n 对 nN *成立所以 an1 an2 对 nN *成立，所以 an是等差
3、数列，所以有 Sn n n2 n， nN *.a1 an2(2)存在由(1)，得 an2 n， nN *成立，所以有 a36， a918，又 a12，所以由 b1 a1， b2 a3， b3 a9，则 3.b2b1 b3b2所以存在以 b12 为首项，公比为 3 的等比数列 bn，其通项公式为 bn23 n1 .3已知数列 an是首项 a11 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，数列 bn是首项 b12 的等比数列，且 b2S216， b1b3 b4.(1)求 an和 bn；(2)令 c11， c2k a2k1 ， c2k1 a2k kbk(k1,2,3，)，求数列 cn的前 2n1 项和 T
4、2n1 .解(1)设数列 an的公差为 d，数列 bn的公比为 q，则 an1( n1) d， bn2 qn1 .由 b1b3 b4，得 q b12，b4b3由 b2S22 q(2 d)16，解得 d2. an2 n1， bn2 n.(2) T2n1 c1 a1( a2 b1) a3( a42 b2) a2n1 ( a2n nbn)1 S2n( b12 b2 nbn)令 A b12 b2 nbn，则 A222 2 n2n，2 A2 222 3( n1)2 n n2n1 ， A22 22 n n2n1 ， A n2n1 2 n1 2.又 S2n 4 n2，2n 1 a2n2 T2n1 14 n2
5、 n2n1 2 n1 234 n2( n1)2 n1 .4已知数列 an满足： an1， a1 ，3(1 a )2(1 a )，12 2n 1 2nbn1 a ， cn a a (nN *)2n 2n 1 2n3(1)证明数列 bn是等比数列，并求数列 bn、 cn的通项公式(2)是否存在数列 cn的不同项 ci， cj， ck(i j k)使之成为等差数列？若存在，请求出这样的不同项 ci， cj， ck(i j k)；若不存在，请说明理由(3)是否存在最小的自然数 M，对一切 nN *都有( n2) cn M 恒成立？若存在，求出 M的值，若不存在，说明理由(1)证明因为 an1， a1
6、，3(1 a )2(1 a )， bn1 a ，12 2n 1 2n 2n所以 (nN *)， b11 a ，所以 bn是以 为首项， 为公比的bn 1bn 1 a 2n 11 a2n 23 21 34 34 23等比数列，所以 bn n1 (nN *)，所以 a 1 bn1 n1 (nN *)34 (23) 2n 34 (23)所以 cn a a n1 (nN *)2n 1 2n14 (23)(2)解假设存在 cj， cj， ck(i j k)满足题意，则有 2cj ci ck代入得2 j1 i1 k1 化简得 2j i1 3 j1 2 k j i，14 (23) 14 (23) 14 (23)即 2j i1 2 k j i3 j1 ，左边为偶数，右边为奇数不可能相等所以假设不成立，这样的三项不存在(3)( n2) cn( n1) cn1 n1 ，14 (23) n 43(12) c1(22) c2(32) c3(42) c4，(42) c4(52) c5，(52) c5(62) c6(72) c7即在数列( n2) cn中，第 4 项和第 5 项是最大项，当 n4 时( n2) cn2 314 (23)，427所以存在最小自然数 M1 符合题意
