《高等应用数学下 提升模块2概率论与数理统计 项目3 随机变量的数字特征》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等应用数学下 提升模块2概率论与数理统计 项目3 随机变量的数字特征（43页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高 等 应 用 数 学 提升模块二 概率论与数理统计 项目三 随机变量的数字特征 n任务一 数学期望及其简单性质 n任务二 方差及其简单性质 任务一 数学期望及其简单性质 1 离散型随机变量的数学期望 2 连续型随机变量的数学期望 3 期望的简单性质 1 离散型随机变量的数学期望 例1 求2 3 2 4 2 3 4 5 3 2这10个数的平均值 解 任务一 数学期望及其简单性质 设离散型随机变量X的概率分布为 如果级数 定义1 绝对收敛 则称这级数为随机变量X的数学期望 或均值 简称期望 记作E X 即 任务一 数学期望及其简单性质 例2 掷一枚均匀的骰子 用X表示出现的点数 求E X 解 任
2、务一 数学期望及其简单性质 例3 甲 乙两数控机床在生产同一标准件时所出的次品数分 别用X Y表示 根据长期的统计资料分析知 它们的分布列如下 问哪一台机床的质量好些 解 即甲机床质量好些 任务一 数学期望及其简单性质 1 两点分布 设X服从二点分布 即X的分布列为 X0 1 p p q 任务一 数学期望及其简单性质 2 二项分布 设X服从二项分布 即X的概率分布为 任务一 数学期望及其简单性质 任务一 数学期望及其简单性质 3 泊松分布 设X服从泊松分布 即X的概率分布为 任务一 数学期望及其简单性质 解 例4 某种子公司的某类种子不发芽率为0 2 今购得该类种子 1000粒 求这批种子的平
3、均发芽粒数 任务一 数学期望及其简单性质 例5 在一部篇幅很大的书籍中 发现只有13 5 的页数没有 印刷错误 如果我们假定每页的错字个数是服从泊松分布的 随机变量 求每页的平均错字个数 解 任务一 数学期望及其简单性质 数学期望 或均值 简称期望 记作E X 即 2 连续型随机变量的数学期望 定义2 设连续型随机变量X的概率密度为p x 如果积分 存在 则称积分为随机变量X的 任务一 数学期望及其简单性质 例6 已知随机变量X的概率密度为 求X的数学期望E X 解 任务一 数学期望及其简单性质 1 均匀分布 设随机变量X在区间 a b 上服从均匀分布 即X的密度为 任务一 数学期望及其简单性
4、质 2 指数分布 设X服从指数分布 即X的密度为 任务一 数学期望及其简单性质 3 正态分布 任务一 数学期望及其简单性质 例7 若某种电子元器件的寿命X 小时 服从参数为 的指数分布 求该种元器件的平均寿命 解 即该元器件的平均寿命为1000小时 任务一 数学期望及其简单性质 3 期望的简单性质 一般地 有下面求平均值的计算公式 任务一 数学期望及其简单性质 一般地 如果X是离散型随机变量 X的概率分布为 则随机变量Y f X 的均值可按下述公式计算 如果X是连续型随机变量 X的密度为p x 则随机变量Y f X 的均值可按下述公式计算 任务一 数学期望及其简单性质 期望的性质 其中k b
5、c都是常数 证 4 设X的密度为p x 任务一 数学期望及其简单性质 例8 已知随机变量X的概率分布列为 求 的期望 解 任务一 数学期望及其简单性质 例9 已知 求 解 0 1 任务一 数学期望及其简单性质 例10 根据统计资料 一位40岁的健康人在5年内仍然活着的 概率为 在5年内死亡的概率为1 p 保险 公司开办人寿保险 参加者需交保险费a元 a为已知 如 果5年内死亡 公司赔偿b元 1 如何确定b 才能使公司可期望获益 2 如果有m人参加公司保险 公司可期望收益是多少 解 任务一 数学期望及其简单性质 2 如果有m人参加保险 公司可望收益为 任务一 数学期望及其简单性质 任务二 方差及
6、其简单性质 1 方差的概念 3 方差的简单性质 2 几种常用的分布的方差 1 方差的概念 看下面两组数据 1 2 3 2 4 2 3 4 5 3 2 2 2 3 3 3 4 3 2 3 4 3 3 3 任务二 方差及其简单性质 设离散型随机变量X的概率分布为 则 称为X的方差 记作D X 即 定义1 任务二 方差及其简单性质 设连续型随机变量X的密度是p x 则称 为X的方差 记作D X 即 定义2 方差 的算术平方根 叫做随机变量X的标准差或均方差 任务二 方差及其简单性质 例1 设某显像管厂生产一种规格的显像管的使用寿命X 小时 的概率分布列如下 求显像管使用寿命的平均值 方差和标准差 解
7、 任务二 方差及其简单性质 1 两点分布 任务二 方差及其简单性质 2 几种常用的分布的方差 2 二项分布 任务二 方差及其简单性质 任务二 方差及其简单性质 3 泊松分布 任务二 方差及其简单性质 4 均匀分布 任务二 方差及其简单性质 5 指数分布 任务二 方差及其简单性质 6 正态分布 任务二 方差及其简单性质 任务二 方差及其简单性质 任务二 方差及其简单性质 3 方差的简单性质 其中 k b c都是常数 任务二 方差及其简单性质 解 设发生故障的元件数为X 每个元件发生故障的概率为p 例2 一台仪器由10个独立工作的元件组成 每一个元件发生 故障的概率都相等 且在一规定时期内 平均发生故障的元件 数为1 试求在这一规定的时间内发生故障的元件数的方差 任务二 方差及其简单性质 证 例3 设随机变量的均值为E X 方差为 随机变量 试证 任务二 方差及其简单性质
