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1、2019-2020年高三上学期期末联考数学（文理）试题 含答案一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分1. 方程的解 .2不等式的解集为,则的范围为 .3已知，为的共轭复数，若（是虚数单位），则 4. 若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍,则圆锥的母线与轴的夹角的大小为 (用反三角形式表示).5. 已知的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则 6.已知将函数的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变),再向左平移个单位,可得到函数的图象,则 .7.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本若将其随机地并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都相邻的概率为_8.已
2、知过点的直线的一个法向量为，则 19. 若对任意实数,都有,则实数的取值范围是 10.如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最小正方形的边长为_11. 设是抛物线上的一点,是抛物线上的任意两点,分别是的斜率,若,则的坐标为 .12（理） 求函数的最小值 （文）求函数的最小值 13.已知是平面上两个互相垂直的单位向量，且,则的最大值为 514（理）.已知函数任取记函数在区间上的最大值为最小值为则函数的值域为 14.（文）已知公差为等差数列满足,且是的等比中项。记,则对任意的
3、正整数均有,则公差的取值范围是 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分15.已知数列， “”是“”成立的（ A ）（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 16某学校高三年级共有学生200人，其中男生120人，女生80人为了调查学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校高三全体学生中抽取一个容量为25的样本，则应抽取女生的人数为（ D ） (A) 20 (B) 18 (C) 15 (D) 1017. 函数则函数是（ A）（A）奇函数但不是偶函数 （B）偶函数但不是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数又不是偶函数18. （
4、理）若曲线在顶点的角的内部,、分别是曲线上相异的任意两点，且，我们把满足条件的最小角叫做曲线相对点的“确界角”。已知为坐标原点，曲线的方程为 ，那么它相对点的“确界角”等于（ B ）（A） （B） （C） （D）（文）已知是椭圆上任意一点,是线段的中点,则有( D )(A ) 没有最大值,也没有最小值 (B) 有最大值,没有最小值(C) 有最小值,没有最大值 (D) 有最大值和最小值三、解答题19、（本题满分12分，第一小题满分5分，第二小题满分7分）已知正方体，为棱的中点（1）求异面直线与所成角的大小（结果用反三角表示）；（2）求四面体的体积.解：（1）由知,就是异面直线与所成角. （2分）
5、连接，在中，所以.即异面直线与所成的角为；（5分） （利用空间向量同样给分）（2）算出的面积 （7分）到平面的距离就是三棱锥的高，.（9分）该四面体的体积. （12分）20、（本题满分14分，第一小题满分9分，第二小题满分5分）如图，一个水轮的半径为，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟转动圈， 如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计算时间。（1）将点距离水面的高度表示为时间的函数，求其解析式；（2）求点第一次到达最高点时所需要的时间。解：（1）如图建立直角坐标系，设角是以为始边，为终边的角，每分钟内所转过的角为 ，（3分）得，（5分）当时，,得，即，（8分）故所求的函数关系式为（9分）（2）
6、令，得，（11分）取，得，故点第一次到达最高点大约需要秒 （14分）21、（本题满分14分，第一小题满分7分，第二小题满分7分） 已知，（，）函数定义为：对每个给定的实数，（1）若对所有实数都成立，求的取值范围；（2）设当时，若对任意，存在，使得，求实数的取值范围；解：（1）“对所有实数都成立”等价于“恒成立”，（1分），即恒成立，（3分），所以，（6分）的取值范围是，（7分） （2） 当时， 对任意，存在，使得，（9分） ，（10分），当时， ，（12分） 由 或 或 ，（14分） 22、（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）OCPBA2A1xy（理）如图已
7、知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，设，若为正三角形且周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知垂直于轴的直线交椭圆于不同的两点，且分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线与交于点，求点的轨迹方程；（3）在的条件下，过点作斜率为的直线，设原点到直线的距离为，求的取值范围.解：（1）由题设得 （2分） 解得： ，故的方程为. （4分）（2）证明：（5分）直线的方程为 （6分），得 ，代入得，即，（8分）因为是不同的两点两点所以所以点的轨迹方程为双曲线上（9分）（3）设直线 （10分）结合第（2）问的结论，整理得： （12分） （14分）且所以的取值范围是 （16分）OCPBA2A1xy（文）如图已知椭圆
8、：的左、右两个焦点分别为、，设，若为正三角形且周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知垂直于轴的直线交椭圆于不同的两点，且分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线与交于点，求证：点在双曲线上；（3）在的条件下，过点作斜率为的直线，设原点到直线的距离为，求的取值范围.解：（1）由题设得 （2分） 解得： ，故的方程为. （4分）（2）证明：（5分）直线的方程为 （6分），得 ，代入得，即，（8分）因为点是直线与的交点，所以即点在双曲线上（9分）（3）设直线 （10分）结合第（2）问的结论，整理得： （12分） （14分）且所以的取值范围是 （16分）23、（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题
9、满分7分，第三小题满分7分）（理）已知递增的等差数列的首项，且、成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）设数列对任意，都有成立，求的值（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积解：（1）是递增的等差数列，设公差为 、成等比数列， （2分） 由 及得 （4分）（2）， 对都成立当时，得 （5分）当时，由，及得，得 （8分） （9分） （11分） （3）对于给定的，若存在，使得 （12分） ，只需， （14分） 即，即（15分）即， 取，则 （17分）对数列中的任意一项，都存在和使得 （18分）(文)将各项均为正数的数列排成如图所示的三角形数阵(第行有个数,同一行下标小的排在左边).表示数阵中第行第1列的数.已知数列为等比数列,且从第3行开始,各行均构成公差为的等差数列,.(1)求数阵中第行第列的数 (用表示)；(2) 试问处在数阵中第几行第几列？(3)试问这个数列中是否有这个数？有求出具体位置，没有说明理由.解:(1)由已知可得: 2分解得: ，4分(2)由,6分,则8分知为数阵中第行第列的数. 10分(3)假设为数阵中第行第列的数.由第行最小的数为,最大的数为,（12分）知,14分当时, ;16分当时, 于是,不等式整数解.从而,不在该数阵中. 18分
