概率分布法讲稿

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1、 数学建模暑期培训资料 黄淮学院数学系 应用统计教研室 主讲人 高风昕 现实世界的变化受着众多因素的影响 包括确定 的和随机的 如果从建模的背景 目的和手段看 主 要因素是确定的 随机因素可以忽略 或者随机因素 的影响可以简单地以平均值的作用出现 那么就能够 建立确定性模型 如果随机因素对研究对象的影响必 须考虑 就应建立随机模型 下面我们讨论如何用随 即变量和概率分布描述随机因素的影响 建立随机模 型 概率模型 引 言 如果由于客观事物内部规律的复杂性及人们 认识程度的限制 无法分析实际对象内在的因果 关系 建立合乎机理规律的模型 那么通常要搜 集大量的数据 基于对数据的统计分析建立模型 这

2、就是我们还要讨论的用途非常广泛的一类随 机模型 统计回归模型 要建立上述两类模型就必须学习 概率论与数理统计 的知识 主要内容 一 概率分布法 1 概率论基础知识 2 几个概率模型 3 概率论基础知识在matlab中的实现 二 数理统计法 1 数理统计基础知识 2 数理统计基础知识在matlab中的实现 三 真题训练 1 足球门的危险区域问题 2 最优评卷问题 一 概率分布方法 u 在社会 生产 科研和生活实践中 许多问题的不确定现 象都是由随机因素的影响所造成的 可将这种不确定现象可 以视为一些随机事件 u 而随机事件一般是按照一定的概率出现的 与此有关的随 机因素的变化往往服从于一定的概率

3、分布 u 在实际中 就是利用这些概率分布规律进问题进行研究 从而可以对说研究的实际问题做出估计 判断 预测和决策 因此 概率分布方法在解决实际问题的过程中有着非常广泛的应用 授课内容 u 概率论基础知识 u 概率模型 概率论的起源 概率论的主要研究对象 概率论的一些基本概念 随机变量及其概率分布 随机变量的数字特征 报童的诀窍 随机存储策略 随机人口模型 u 概论率基础知识在MATLAB中的实现 授课内容 u 概率论基础知识 u 概率模型 概率论的起源 概率论的主要研究对象 概率论的一些基本概念 随机变量及其概率分布 随机变量的数字特征 报童的诀窍 随机存储策略 随机人口模型 u 概论率基础知

4、识在MATLAB中的实现 u 16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博的一些问题 u 17世纪中叶 法国数学家B 帕斯卡 荷兰数学家C 惠更斯基于排列组合的方法 研究了较复杂的赌博问题 解决了 合理分配赌注问题 即得分问题 1 1 概率论的起源 赌金分配问题 法国有个大数学家巴斯卡尔 巴斯卡尔认识两个 赌徒 这两个赌徒向他提出了一个问题 他们说 他 们俩下赌金之后 约定谁先赢满5局 谁就获得全部 赌金 赌了半天 A赢了4局 B赢了3局 时间很晚了 他们都不想再赌下去了 那么 这个钱应该怎么分 答案 赢了4局的拿这个钱的3 4 赢了3局 的拿这个钱的1 4 解析 假定他们俩再赌一局 或者A赢 或者

5、B赢 若 是A赢满了5局 钱应该全归他 A如果输了 即A B 各赢4局 这个钱应该对半分 现在 A赢 输的可能 性都是l 2 所以 他拿的钱应该是1 2 1 1 2 1 2 3 4 当然 B就应该得l 4 u 概率论的飞速发展则在17世纪微积分学说建立以后 u 第二次世界大战军事上的需要以及大工业与管理 的复杂化产生了运筹学 系统论 信息论 控制论 与数理统计学等学科 u 使概率论成为数学的一个分支的真正奠基人瑞 士数学家J 伯努利 u 对客观世界中随机现象的分析产生了概率论 授课内容 u 概率论基础知识 u 概率模型 概率论的起源 概率论的主要研究对象 概率论的一些基本概念 随机变量及其概率

6、分布 随机变量的数字特征 报童的诀窍 随机存储策略 随机人口模型 u 概论率基础知识在MATLAB中的实现 太阳东升西落 1 确定性现象 在一定条件下必然发生的现象 同性电荷必然互斥 水从高处流向低处 实例 自然界所观察到的现象 确定性现象随机现象 函数在间断点处不存在导数 等 确定性现象的特征 条件完全决定结果 1 2 概率论的主要研究对象 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币 观察正反两面 出现的情况 2 随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 实例2 用同一门炮向同一目标发 射同一种炮弹多发 观察弹落点的 情况 结果 可能出现正面也可能出现方面 结果 弹落点会各不相同 结果有可

7、能为 1 2 3 4 5 或 6 实例3 抛掷一枚骰子 观察出现的点数 实例4 出生的婴儿可能是男 也可能是女 随机现象的特征 条件不能完全决定结果 2 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性 但 人们通过大量重复试验或观察中发现这种结果的出现具有 一定的规律性 我们把这种规律性成为统计规律性 说明 1 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 其数量关系无法用函数加以描述 实例1 大量重复抛掷硬币这一试验 正面朝上的次数约占一半 实实 验验者次数n正面向上 m 频频率 f m n 蒲 丰404020480 5070 皮尔逊逊1200060190 5016 皮尔逊逊24000120190

8、 5005 实例2 多次重复掷一枚骰子 出现 1 的次数约占1 6 概率论就是研究随机现象统计规律性的一门数学学科 授课内容 u 概率论基础知识 u 概率模型 概率论的起源 概率论的主要研究对象 概率论的一些基本概念 随机变量及其概率分布 随机变量的数字特征 报童的诀窍 随机存储策略 随机人口模型 u 概论率基础知识在MATLAB中的实现 1 3 概率论的基本概念 随机试验与随机事件 概率的定义 条件概率 事件的独立性 古典概率 1 3 概率论的基本概念 随机试验与随机事件 概率的定义 条件概率 事件的独立性 古典概率 1 3 1 随机试验与随机事件 试验 实际中 把对自然现象进行一次观察或一

9、次科学 试验统称为试验 E1 抛一枚硬币 分别用 H 和 T 表示出正面和反面 E2 将一枚硬币连抛三次 考虑正反面出现的情况 E3 将一枚硬币连抛三次 考虑正面出现的次数 E4 掷一颗骰子 考虑可能出现的点数 问题 如何研究随机现象 答 随机现象是通过大量的试验和观察来研究的 1 可重复性 在相同条件下可重复进行 2 一次试验结果的随机性 在一次试验中可能出 现各种不同的结果 预先无法确定 随机试验 具有上述三个特点的试验成为随机试验 简称试验 3 全部试验结果的可知性 所有可能的试验结果预先 是可知的 上述试验的共同特点 注 随机试验通常用 E 来表示 样本空间 随机试验E的所有可能出现的

10、结果构成的集合称 为E的样本空间 样本点 样本空间的元素 即E的每个结果称为样本点 注 样本空间是由样本点构成的 样本空间包含所有的样本点 它是本身的子集 在每次试验 中它总是发生的 称为必然事件 记为 空集不包含任何样本点 它也是样本空间的子集 在每次 试验中都不发生 称为不可能事件 记为 随机事件 我们称试验E的样本空间的子集为E的随机事件 在每次试验中 当且仅当这一子集中的一个样本点出现时 称这一事件发生 由一个样本点组成的单点集称为基本事件 u 随机事件的关系 包含事件 A发生必导致B发生 记为 相等事件 A B当且仅当 A B u 随机事件的关系 和事件 事件A与B至少有一个发生 记

11、为A B 推广 积事件 事件A与B同时发生 记为A B 推广 6 差事件 事件A发生而事件B不发生 记为A B 7 互不相容事件 A B不能同时发生 即AB 8 互为对立事件 若A B 且A B 表示A与B 有且仅有一个发生 记为 A B A 1 3 2 概率的定义 实际中 我们在观察一个随机试验的各种事件时 一 般来说 总会发现有些事件出现的可能性大 有些事件出 现的可能性小 而有些事件出现的可能性彼此大致相同 为此我们希望找到一个合适的数来表征事件在一次试验中 发生的可能性大小 u 概率的公理化定义 我们把刻画事件发生可能性大小的数量指标称为事 件的概率 记为P A u 概率P A 满足下

12、列性质 2 P 1 P 0 1 非负性 对每一个事件 有 P A 0 4 可列可加性 设A1 A2 是两两互不相容的事件 则 1 概率的有限可加性 若AB 则P A B P A P B 2 P A B P A P AB 3 P A B P A P B P AB 推广 P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC 概率的其他性质 1 3 2 古典概率 等可能概率 1 试验的样本空间只包含有限个元素 E1 抛一枚硬币 分别用 H 和 T 表示出正面和反面 E2 将一枚硬币连抛三次 考虑正反面出现的情况 它们具有两个共同的特点 2 试验中每个基本事件发生的可能性相

13、同 具有上述两个特点的试验称为古典概型 等可能概 型 它曾是概率论发展初期主要的研究对像 古典概率的计算公式 设事件A包含k个基本事件 样本空间为S共包含n个基本事件 例如 将一枚硬币抛掷三次 求A 恰有一次出现正面 的 概率 1 3 3 条件概率 定义 在实际问题中 除了要考虑事件A的概率 还要 考虑在已知事件B发生的条件下事件A发生的概率 称为 在事件B发生的条件下事件A的条件概率 记作P B A 若P B 0 则有 同理若P A 0 则有 当下面的条件概率都有意义时 u 乘法公式 由条件概率可得下面的结论 1 若事件 互不相容 且P Ai 0 i 1 2 n 则对任意事件 有 2 若事件

14、 互不相容 且P Ai 0 i 1 2 n 全概率公式 贝叶斯公式 授课内容 u 概率论基础知识 u 概率模型 概率论的起源 概率论的主要研究对象 概率论的一些基本概念 随机变量及其概率分布 随机变量的数字特征 报童的诀窍 随机存储策略 随机人口模型 u 概论率基础知识在MATLAB中的实现 1 4 随机变量及其概率分布 随机变量的概念 一维随机变量及其概率分布 二维随机变量及其概率分布 u 随机变量的概念的引入 为了深入全面地研究随机现象 充分认识随机现象的 统计规律性 使定量的数学处理成为可能 就必须将随 机试验的结果数量化 把随机试验的结果与实数对应起来 建立类似函数的 映射 我们称之为

15、随机变量 随机变量的引入 使我们能够利用高等数学的方法来研 究随机试验 用随机变量描述随机现象是概率论中最重要 的方法 例如 1 掷一颗骰子 观察出现的点数 1 2 3 4 5 6 引入一个变量X表示出现的点数 出现的点数为1 时X 1 出现的点数为2时X 2 出现的点数为6时X 6 上述的X为一个随机变量 随机试验的结果可用 该随机变量的取值来表示 2 某足球队参加比赛 纪律比赛的结果 胜 负 平 引入一个变量Y表示足球比赛的积分数 当结果为胜时Y 3 当结果为平时Y 2 当结果为负时Y 1 上述的Y也为一个随机变量 同样随机试验的结果可用 该随机变量的取值来表示 在上述两个试验中 均引入了

16、一个变量 在随机试 验的结果与实数之间建立了一种对应关系 函数 将其称之为随机变量 注 1 随机变量通常用大写字母来X Y Z 表示 2 引入随机变量后 可用随机变量来描述事件 3 对于同一个随机试验 可引入多个随机变量 u 随机变量的分类 离散型随机变量 随机变量的取值为有限多个或无限可列多个值 根据随机变量的取值划分 连续型随机变量 随机变量的取值为一个区间或者多个区间 根据随机变量中含的分量的个数划分 一维随机变量 多维随机变量 其它类型 u一维维离散型随机变变量 定义 若随机变量X只取有限多个或无限可列多个值 则 称该X为离散型随机变量 注 对于离散型随机变量X 只知道它的全部可能取值是不够的 要掌握X的统计规律 还需要知道X取每一个可能值的概率 分布律的定义 设X为离散型随机变量 它的全部 可能取值为 且 则称 为X的分布律 或分布列 概率分布 1 写出随机变量的全部可能取值 2 写出每个取值相应的概率 求离散型随机变量的 概率分布 即分布律 注 分布律也用表格的形式来表示 例如 掷一枚质地均匀的骰子 记X为出现的点数 求 X的分布律 解 X的全部可能取值为1 2 3 4 5