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1、导学引领，树梁中学对标检测”尝试教学导学案八年级下第二十五章一元二次方程授课教师： 主备教师： 燕桂凤 审核校对：初四数学组【学习目标】1. 掌握一元二次方程及其解法；2. 根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理3. 会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程【知识梳理】、本章知识结构框图：、本章知识点：、一元二次方程的定义及一般形式：只含有一个未知数、并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是：（），其中叫做二次项，叫做二次项系数，叫做一次项系数，叫做常数项。注意：（）一般形式中，、可以是任何实数；二次项系数是不等于0的实数，这是因为等于
2、0，方程就不是二次方程了；（）要确认一元二次方程的各项系数，必须先将此方程化简整理成一般形式，然后再确定、，同时不要漏掉符号。、一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）。、一元二次方程的四种解法：解一元二次方程常用的方法有：开平方法，配方法，公式法和因式分解法。其中开平方法和因式分解法是特殊解法，而配方法和由配方法推导出来的求根公式是一般方法，一般方法对任何一元二次方程都可以使用。（） 直接开平方法：把方程变为形如（+）（）的方程可用直接开平方法求解。两边直接开平方得：+或+。-+，。注意：（）直接开平方的理论根据是平方根的定义，故只有在条件下，方程才
3、有实数根。若，则方程（+）无实数根；（）在实际问题中，要联系实际情况确定方程的解。（）因式分解法：如果一元二次方程经过因式分解能化成的形式，且与都是含有未知数的一次式那么它就可以化为两个一元一次方程或，根据这种思想解一元二次方程的方法，就是因式分解法。因式分解法体现了将一元二次方程“降次”转化为一元一次方程来解的思想，运用这种方法的步骤是：将已知方程化为一般形式，使方程右端为；将左端的二次三项式分解为两个一次因式的积；分别令方程左边的两个因式为，得到两个一次方程，它们的解就是原方程的解。注意：因式分解法是解一元二次方程常用的方法，务必熟练掌握。（）配方法：通过配方把一元二次方程+变形为（+）的
4、形式，再利用直接开平方法解之，这就是配方法。用配方法解一元二次方程的一般步骤：移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；化二项系数为：在方程两边都除以二次项系数；配方：方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为（）（）的形式；用直接开平方法解变形后的方程。注意（）“将二项系数化为”是配方的前提条件，配方是关键也是难点；（）配方法是一种重要的数学方法，应予以重视。（）公式法：应用配方法可导出一元二次方程+（）的求根公式（）。用公式法解一元二次方程的一般步骤：化方程为一般形式，即+（）；确定、的值，并计算的值（注意符号）；当时，将、及的值代入球根公式，得出方程的根：；当时，原方程无实数
5、解。注意：（）在运用公式法解一元二次方程时，一定要先把方程化为一般形式，再确定、的值，否则，易出现符号错误；（）用公式法解一元二次方程时，套入公式要运算准确。、怎样选择恰当的方法解一元二次方程：解一元二次方程常用的方法有四种。使用时关键是选择适当的方法，一般按照先特殊后一般的程序选择，考虑的顺序是：直接开平方法因式分解法公式法。没有特殊要求，配方法一般不用，因为配方法解方程比较麻烦，但配方的方法要熟练掌握。、一元二次方程根的判别式及应用：（）一元二次方程根的判别式概念及定理内容：概念：一元二次方程+（）是否有实数根，完全取决于的符号，因此，把叫一元二次方程的根的判别式。用“”表示，即。内容：对
6、于一元二次方程+（），方程有两个不相等实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程无实数根。注意：（）只适用于一元二次方程；（）使用时，要先将一元二次方程化为一般形式后，才能确定、，求出；（）当时，方程有实数根。（）一元二次方程根的判别式主要有以下应用：不解一元二次方程，判断根的情况；证明字母系数方程有实数根或无实数根；根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。、一元二次方程根与系数的关系及应用：（）内容：如果，是一元二次方程+（）的两根，那么+，；如果方程+的两个根是，那么+，（韦达定理）；以两个数，为根的一元二次方程（二次项系数为）是（+）+.（）应用：已知方程的一个跟，求另一根及未知系数；不
7、解方程，求与已知方程两根有关的代数式的值；已知方程的两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值。7、列一元二次方程解应用题的方法步骤：列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的拓展，解题方法是相同的，但由于一元二次方程有两个解，要注意检验方程的解是否符合实际意义。其步骤为：设：即适当设未知数（直接设未知数，间接设未知数），不要漏写单位名称，会用含未知数的代数式表示题目中涉及的量；列：根据题意，列出含有未知数的等式，注意等号两边量的单位必须一致；解：解所列方程，求出解来；验：一是检验是否为方程的解；二是检验是否为应用题的解；答：怎么问就怎么答，注意不要漏写单位名称。8、主要题型：列一元二次方
8、程解应用题的类型很多，在日常生活、生产、科技等方面有广泛的应用，如面积问题、平均增长率（降低率）问题、利润问题、数字问题、刹车问题等。、本章数学思想方法：配方法转化思想：主要体现在解一元二次方程通过开平方法或因式分解法转化为一元一次方程；把一般形式的一元二次方程转化为特殊形式的方程（+）（）分类讨论思想化归思想：化归思想就是把所要解决的问题转化归结为另一个较容易的问题或已经解决的问题方程思想数学建模思想【对标检测】一 选择题（每小题3分，共24分）：1方程（m21）x2mx50 是关于x的一元二次方程，则m满足的条件是（）（A）m1 （B）m0 （C）|m|1 （D）m1 2方程（3x1）（x
9、1）（4x1）（x1）的解是（） （A）x11，x20 （B）x11，x22 （C）x12，x21 （D）无解 3方程的解是（） （A）x16，x21 （B）x6 （C）x1 （D）x12，x23 4若关于x的方程2x2axa20有两个相等的实根，则a的值是（） （A）4 （B）4 （C）4或4 （D）2 5如果关于x的方程x22x0没有实数根，那么k的最大整数值是（） （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 6以 和 为根的一个一元二次方程是（） （A） （B） （C） （D） 74x25在实数范围内作因式分解，结果正确的是（） （A）（2x5）（2x5） （B）（4x5）（4x5） （C）
10、 （D） 8已知关于x的方程x2（a22a15）xa10的两个根互为相反数，则a的值是（） （A）5 （B）3 （C）5或3 （D）1答案： ；二 填空题（每空2分，共12分）：1方程x220的解是x； 2若分式的值是零，则x；3已知方程 3x2 5x 0的两个根是x1，x2，则x1x2， x1x2；4关于x方程（k1）x24x50有两个不相等的实数根，则k；5一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数的积是24，则这个两位数是答案：；3；，；k 且k1；46三 解下列方程或方程组（第、小题分，第小题分，共25分）：1； 解：用公式法因为，所以 ，所以 ， ； 2； 解：用换元法设
11、，原方程可化为 ，也就是，解这个方程，有， 由5得方程 ，解得 ，；由2得方程 ，解得 ，经检验，都是原方程的解 解：由得，代入方程 ，得 ，把 代入，得；把 代入，得所以方程组的解为 ， 四 列方程解应题（本题每小题8分，共16分）：某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐时各需多少小时？略解：设甲、乙两管单独开放注满油罐时各需x小时和y小时，依题意，有，解得所以，甲管单独开放注满油罐需12小时，乙管单独开放注满油罐需16小时甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米略解：用图形分析： A地 相遇地 B地 依题意，相遇地为中点，设乙的速度为v千米时， 根据“甲、乙走10千米所用时间的差为半小时”列式，有
