《建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806》由会员分享，可在线阅读，更多相关《建筑数学-概率4-参数估计与回归分析166607806（35页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 清华大学建筑学院 参 数 估 计 与 回 归 分 析 参数估计 对于许多要研究的对象 总体 不可能 穷尽 地一一调查测量 只能随机地抽取一部分 样本 根据样本的数据来估计总体的 真值 有的情况是知道 分析出 随机变量的分布形态 泊松分布 正 态分布等 如何根据样本数据 估计 出该分布的参数 如泊松分布 的 正态分布的 和 例 设某炸药厂一天中发生着火现象的次数X服从 对于泊松分布 只有一个参数 要估计 的估计值就 是样本平均数 验证一下 k 0 样本计算 p 75 250 0 3 公式计算 0 295 k 1 样本计算 p 90 250 0 36 公式计算 0 360 k 2 样本计算 p
2、54 250 0 216 公式计算 0 220 k 3 样本计算 p 22 250 0 088 公式计算 0 089 e e 1 22 0 29523 对于正态分布 有两个参数 和 要估计 的估计值就是样本平 均数 的估计值就是样本方差的平方根 这在讲概率分布时已经提到 对于二项分布有一个参数 p 要估计 p 的估计值就是样本平均数 十年一遇 就是根据历史记录 发生该现象的统计平均是 p 0 1 区间估计 上面讨论的参数估计 是用样本的数值来估计总体的参数 但是 每一次样本试验得到的参数估计值是不同的 例如我们可以认定某 个年龄段 10岁 儿童 男童或女童 的身高 作为总体 满足正态 分布 参
3、数均值 的估计值可以通过100名儿童身高的测量值的平均数 得到 但再测量100名儿童 可能得到不同的值 多次做100名儿童身 高的测量得到的值尽管各不相同 但都处于某个区间范围之内 把这 些值加以平均的到的值 例如6次测测量 共600名儿童平均 是否更 可 信 一些 比做3次测量是否更可信一些 即 置信度 更高 还有一个问题 对不同的总体 或不同的组分 如男童和女童分 开 抽样得到样本值离散性可能不同 即计算出的方差 不同 有的 组分 男童 样本值之间差异小 小 有的组分 女童 样本值之 间差异大 大 那么试验次数相同下 得到均值 的估计值的 可 信度 一样吗 方差 大 离散性大 的组分试验的
4、次数 样本的数量 是否应当多一些呢 这就要引入统计数据处理的 区间估计 通常 采用95 的置信度 有时也取99 或90 均值的区间估计 已知方差 估计均值 推得 随机区间 在正态分布表中 置信度90 即 0 10 1 65 置信度95 即 0 05 1 96 置信度99 即 0 01 2 58 可以看出区间的大小 2 与 成正比 即与置信度有关 与 成正比 即与样本离散性有关 离散度越小 样本平均数越接近真 值 与样本数 成反比 置信度要求确 定 样本离散度一定 样本数越多 区间越小 样本平均数越接近真值 或者说 样本离散性 大 需要 更多的样本数 n 才能保持相同 的区间范围 已知幼儿身高服
5、从正态分布 现从5 6岁的幼儿中随 机地抽查了9人 其高度分别为 115 120 131 115 109 115 115 105 110cm 1 在总体服从正态分布的情况下 从某校学生中随机抽选 100人 调查到平均每天锻炼时间为30分钟 样本方差为36 试以95 的置信度来估计该校学生平均每天锻炼的时间 解得 28 81 31 19 练习 2 某医院欲估计一名医生花在每个病人身上的平均时间 设 要求置信度为95 允许的误差范围在 2分钟 依以前的经 验看病时间的标准差为6分钟 试问需要多大的样本量 n 35 解 上一届同学在 建筑数学 课堂上 每人当场测量自己心律的 统计 次 分钟 共192
6、人 那么 总体分布的 平均数 标准差 在正态分布表中 置信度90 即 0 10 1 65 置信度95 即 0 05 1 96 置信度99 即 0 01 2 58 回归分析 英国著名人类学家Franics Galton 高尔顿顿 1822 1911 于 1885年发发表论论文 身高遗传遗传 向平均数方向的回归归 分析儿童身 高与父母身高之间间的关系 发现发现 父母的身高可以预测预测 子女的身高 当父母越高或越矮时时 子女的身高会比一般儿童高或矮 他将 儿子与父母身高的这这种现现象拟拟合出一种线线形关系 但他还发现还发现 当父母非常高 或非常矮 其子女的身高不会象父母那样样非常 高 或非常矮 而是
7、比其父母更接近平均身高 高尔顿选顿选 用 回 归归 regression 一词词 高尔顿顿和他的学生K Pearson观观察了1078对对夫妇妇 分析出儿子 的身高 y 与父亲亲的身高 x大致可归结为归结为 以下关系 y 0 516 x 33 73 单单位为为英寸 回归分析 regression analysis 是确定两种或两种以上变数间相 互依赖的定量关系的一种统计分析方法 在调查观察中 会得到各种变量的样本值 会发现某种变量与 另一种变量之间有 相关 性 例如 住宅面积与经济指数 经济状况好 指数高 住宅建设面积就大 能否用定量化的函数来表示两者间的依赖关系 首先观察到样本散点图近似 于
8、一条直线 可以用一个线性函 数来拟合 y a bx 称为为线线性回归归 需要确定 a和 b 两个参数 如果按图图中红线红线 来拟拟合 所 有样样本点 xi 的拟拟合值值 都大于 样样本值值 yi 如果按图中蓝线来拟 合 所有样本点 xi 的拟拟合值值 都 小于样样本值值 yi 两者都不合适 显然 拟合的直线应 贯穿 于散点之中 如图中黑线所示 以做到各 样本点的样本值 yi与拟拟合值值 的差值 的平方和最小 即 构建一个以回归系数 a和 b为变量的误差函数 按函数的微分极值原理 求其在取极小值时的 a和 b的取值 就可得到 线性回归方程 y a bx 此为最小二乘法 相关系数0 95 表示住宅
9、建设面积与经济指数确实相关 具体计算方法见下表 计算x的平均数 y的平均数 x2 y2和 xy 即可计算回归系数 a 和 b 相关系数 r 0 r 1 r为为正值值 即正相关 x增 y也增 r为负值为负值 即 负负相关 x增 y减 r 接近1 表示 y与x有很强的相关性 样样本值值散点分 布接近直线线 r 接近0 表示y与x相 关性弱 样样本值值散点分布很分散 高斯最小二乘法计算谷神星轨道 1801年 高斯用数学方预测出一颗小行星的轨道 天文学家在高斯指出的 位置发现了小行星 后来被命名为谷神星 Ceres 高斯8年后系统地完善了 相关的数学理论 才将他的方法公布于众 即 最小二乘法 一元非线
10、性回归 当因变量Y与自变量x之间没有线性关系时 一般用回归曲线y f x 来描述它们之间的关系 但是通常可以采用简单的变量变换 把非线性 回归的问题转化为线性回归来处理 几种常见的曲线方程 化为线性问题的变换公式 1 列表 数据计算 多元回归分析 1 二元线性回归方程 实际中 会需研究一个变量与多个变量之间的定量关系 就是多元 分析问题 上式称为回归平面 0是常数 1 2为回归系数 设随机变量Y 自变量 x1和 x2 有 有 n 组观测值 由多元函数极值原理 有 即 整理得到 由第3式 得 代入第1 2式 消去 0得 其中 解得 例1 某公司的商品在15地区销量y和人口数x1 户均 总收入x2
11、资料见表 试求销量对人口数 户均总收入 的回归方程 按计算公式 所求回归方程 西安机场西安机场航空客运量与国民生产的总值和航空客运量与国民生产的总值和旅游游客量二元回归旅游游客量二元回归 根据根据1980 19941980 1994年陕西省的年陕西省的GNPGNP X1X1 和旅游游客量 和旅游游客量 X2X2 的数据 与西 的数据 与西 安机场年旅客吞吐量 安机场年旅客吞吐量 y y 作二元回归 得到回归方程 再了解了陕西省 作二元回归 得到回归方程 再了解了陕西省 人大制定的十年经济发展计划和旅游事业规划的数据 预测未来人大制定的十年经济发展计划和旅游事业规划的数据 预测未来1010年的航
12、空年的航空 客运量 客运量 年旅客吞吐量 y 与GNP指数x1和旅游 游客量指数x2的二元回归方程 根据1980 1993年的实际数据 样本数 据 求算回归系数 0 1 2 上上述二元相关分析的航空客运量的述二元相关分析的航空客运量的实际值与计算值和实际值与计算值和预测值如下表所列 预测值如下表所列 得到二元的回归方程 其中X1是GNP指数 X2是旅客量指数 复相关系数 r 0 981 1994年做10年预测预测 用四种方法预测后取整 2019年西安机场场旅客年吞 吐量预测值预测值 是800万 现现在2019年已经过经过 去 西安机场场2019年实际实际 的旅客年吞吐量是 794万 LOGO 谢谢
