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1、按一下以編輯母片標題樣式 按一下以編輯母片副標題樣式 1 傅淑婷老師傅淑婷老師 指導指導 李重毅李重毅 呂怡學呂怡學 彭柏諺彭柏諺 製製 作作 如右圖 PQRS是一個 正方形 在它的四邊 上畫上四個直角三角 形 假設這四個直角 三角形的邊長除了邊a b c d相等外 其 餘皆不相等 求邊e f g h i j k l的 正整數解 研究動機 一 找出這個題目的解法 並歸納出 這個題目在a為不同數時的各種狀況 二 歸納出如何快速由一個正整數找 出和他有畢氏數對關係的其他正整數方法 三 探討畢氏數對的系列規則 研究目的 研究過程 一 這是毛西氏的公式 其中 我們知道 和 必為這 個畢氏數組的兩股 因
2、此我們可以利 用這個特性來解上面的題目 上圖所謂正方形的邊長a b c d 即為四周的正三角形的一股 所以 a b c d or 研究過程 二 於是 我們將a用1 100的數代入 開 始了一連串恐怖的計算惡夢 無意間發現 在某些數組中出了問題 以15為例 N個小時後 令a 15 I 無整數解 II 15 1 15 不合 15 1 3 5 不合 5 3 m n 15 m n 1 m 8 n 7 求出數對 15 112 113 m n 5 m n 3 m 4 n 1 求出數對 8 15 17 總共兩組解 於是我們想到一個方法來將所有的解找出 來 同樣以a 15為例 我們將15因數分解 15 3 5
3、 15的所有因數有 1 3 5 15 我們已知道1沒有整數解 而3和5各有兩組解 分別為 3 4 5 和 12 13 5 我 們將 3 4 5 乘以5 將 12 13 5 乘 以3 得到數組 15 20 25 和 36 39 15 所以我們研判當a 15 可以找出四個 不同的直角三角形 但是這個方法實在是太 麻煩了 而且疑點實在是太多了 我們有以 下疑問 研究過程 三 像這樣的題目 可以滿足畢氏定理的另 一股及斜邊的正整數是否有限 當a為質數時 只有一組解嗎 疑問 求證 令 也就是說 當x是固定的時候 欲求y 代數 只要代到x的平方就可以找出他的所有解 換 言之他的解是有限的 目的 證明他的解
4、是有限的 令 x必是奇數 因此的因數只有1和x 所以 此時有兩種狀況 I 則 無整數解 II 則 我們知道一個奇數必為兩個連續整數的和 所以z和y是連續正整數 只有這一組解 證明質數只有一組解 我們再利用Excel程式 將一股代入100 以內的質數 再將另一股定為1到10000 的整數 因為上面我們知道解是有限的 且另一股必小於的一半 而100之中 最大的質數是97 他的平方的一半為 4704 5 所以將另一股定為1到10000的 整數是綽綽有餘的 最後求其斜邊 經代入多個質數後 發現都只有一組解 於是得證當a為質數時 只有一組解 Excel 程式之運用 現在 回歸到報告原本的主題 到底a的性
5、質 會不會影響到解的數量 它們之間到底有什 麼關係 我們使用Excel程式快速運算 算出 當a為1到100的整數時 各有多少組解 研究過程 四 a解 10 20 31 41 51 61 71 82 92 101 111 124 131 141 154 163 171 182 191 204 214 221 231 247 252 Excel 表格 觀察上頁的表格 我們發現一些規律 狀況 無整數解 一組解 兩組解 三組解 四組解 五組解 七組解 十組解 數的特性 小於等於2的正整數 質數 質因數只有兩個 且至少一個為2 大於2的質數的平方 質數的平方的兩倍 可分解成兩個具有因 倍數關係的合數 因
6、數為兩個相異且大於二的質數 可以分解成4和一個大於2的質數的乘積 可以分解成6和一個大於2的質數的乘積 例外 32 70 81 只有64 說明 1 1 無整數解 a為小於等於2的正整數 也就是1和2 經計算證明 2 一組解 a為質數的狀況 請參考上面 第 7 點證明 a的質因數只有兩個 且至少一個為2 證明 設 令x 2n n為質數 I c b為偶數 令c 2p b 2q 一組解 II c b為奇數 令c 2p 1 b 2q 1 無整數解 因此證明只有一組解 雖然我覺得這個和上面的沒有什麼關係 但 我認為還是蠻有意義的 我們利用Excel程式 同樣利用毛西氏的公式 將n代1 15的整數 m代1
7、 50的整數 算出一大推的畢氏數 然後探討畢氏數對的系列規則 我們發現 研究過程 五 三數互質 且較大的一股與斜邊必為連續正 整數 即使用毛西氏公式將n代1 m代任何奇數 例 3 4 5 5 12 13 7 24 25 9 40 41 系列一 三數互質 且較大的一股與斜邊必相差2 且皆為奇數 即使用毛西氏公式將n代1 m代任何偶數 公式 m 偶數 例 8 15 17 12 35 37 16 63 65 20 99 101 系列二 當m xn時 x為 1的奇數 所得到的 畢氏數對中 經約分後 最小的一個數 x 例 令m 3n 求出數對 6 8 10 約分後變成數對 3 4 5 令m 5n 求出數
8、對 10 24 26 約分後變成數對 5 12 13 令m 7n 求出數對 14 48 50 約分後變成數對 7 24 25 令m 9n 求出數對 18 80 82 約分後變成數對 9 40 41 系列三 m 2 n 2 m 2 n 2 8 例 12 5 13 20 21 29 28 45 53 系列四 m 2 n 2 m 2 n 2 18 例 7 24 25 48 55 73 60 91 109 系列五 m 2 n 2 m 2 n 2 32 例 56 33 65 72 65 97 88 105 137 其他還有很多很多系列 只列舉幾種 當範例 不過 大致上來說 m 2 n 2 m 2 n 2
9、 2n 2 系列六 這次研究 其實是非常辛苦的 很多繁 複的計算都很煩 可是後來都用電腦幫 我們代算了 可是如果碰到要證明就沒 有那麼幸運了 乖乖算吧 我覺得數字 實在是很奇妙 很多事情都很 剛好 作研究的時候總會驚喜連連 研究心得 按一下以編輯母片標題樣式 按一下以編輯母片副標題樣式 25 jUmXp s v z0C4F7IaMdPgSkVnZq t x A1D5G8JbNeQiTlWo r u y B3E6H9LcOfRjUmYp s w z0C4F7JaMdPhSkVnZq u x A2D5G8KbNfQiTlXo r v y0B3E6I9LcOgRjUmYp t w z1C4F7JaM
10、ePhSkWnZq u x A2D5H8KbNfQiUlXo s v y0B3F6I9LdOgRjVmYq t w z1C4G7JbMePhTkWnZr u x A2E5H8KcNfQiUlXp s v y0B3F6IaLdOgSjVmYq t w z1D4G7JbMeQhTkWoZr u x B2E5H9KcNfRiUmXp s v y0C3F7IaLdPgSjVnYq t w A1D4G8JbMeQhTlWoZr u x B2E6H9KcOfRiUmXp s v z0C3F7IaMdPgSkVnYq t x A1D5G8JbNeQiTlWo r u y B2E6H9LcOfRjUmXp s
11、 w z0C4F7IaMdPhSkVnZq t x A2D5G8KbNeQiTlXo r v y B3E6I9LcOgRjUmYp t w z1C4F7JaMePhSkWnZq u x A2D5H8KbNfQiTlXo s v y0B3E6I9LdOgRjVmYp t w z1C4G7JaMePhTkWnZr u x A2E5H8KcNfQiUlXp s v y0B3F6I9LdOgSjVmYq t w z1D4G7JbMePhTkWoZr u x A2E5H9KcNfRiUlXp s v y0C3F6IaLdPgSjVnYq t w A1D4G8JbMeQhTkWoZr u x B2E5H9
12、KcOfRiUmXp s v z0C3F7IaLdPgSkVnYq t w A1D5G8JbNeQhTlWo r u y B2E6H9LcOfRjUmXp s w z0C4F7IaMdPgSkVnZq t x A1D5G8KbNeQiTlWo r v y B3E6H9LcOgRjUmYp s w z1C4F7JaMdPhSkWnZq u x A2D5H8KbNfQiTlXo r v y0B3E6I9LcOgRjVmYp t w z1C4G7JaMePhSkWnZr u x A2D5H8KcNfQiUlXo s v y0B3F6I9LdOgSjVmYq t w z1D4G7JbMePhTkWnZ
13、r u x A2E5H8KcNfRiUlXp s v y07JaMePhSkWnZr u x A2D5H8KcNfQiUlXo s v y0B3F6I9LdOgRjVmYq t w z1C4G7JbMePhTkWnZr u x A2E5H8KcNfRiUlXp s v y0C3F6IaLdOgSjVnYq t w z1D4G8JbMeQhTkWoZr u x B2E5H9KcNfRiUmXp s v y0C3F7IaLdPgSjVnYq t w A1D4G8JbNeQhTlWoZr u y B2E6H9KcOfRjUmXp s v z0C4F7IaMdPgSkVnYq t x A1D5G8Jb
14、NeQiTlWo r u y B3E6H9LcOfRjUmYp s w z0C4F7JaMdPhSkVnZq u x A2D5G8KbNfQiTlXo r v y B3E6I9LcOgRjUmYp t w z1C4F7JaMePhSkWnZq u x A2D5H8KbNfQiUlXo s v y0B3F6I9LdOgRjVmYq t w z1C4G7JbMePhTkWnZr u x A2E5H8KcNfQiUlXp s v y0B3F6IaLdOgSjVmYq t w z1D4G7JbMeQhTkWoZr u x B2E5H9KcNfRiUmXp s v y0C3F6IaLdPgSjVnYq
15、t w A1D4G8JbMeQhTlWoZr u x B2E6H9KcOfRiUmXp s v z0C3F7IaMdPgSkVnYq t x A1D5G8JbNeQhTlWo r u y B2E6H9LcOfRjUmXp s w z0C4F7IaMdPhSkVnZq t x A2D5G8KbNeQiTlXo r v y B3E6I9LcOgRjUmYp t w z1C4F7JaMdPhSkWnZq u x A2D5H8KbNfQiTlXo s v y0B3E6I9LdOgRjVmYp t w z1C4G7JaMePhTkWnZr u x A2E5H8KcNfQiUlXo s v y0B3F6I
16、9PhSkWnZq u x A2D5H8KbNfQiTlXo s v y0B3E6I9LdOgRjVmYp t w z1C4G7JaMePhTkWnZr u x A2D5H8KcNfQiUlXo s v y0B3F6I9LdOgSjVmYq t w z1D4G7JbMePhTkWoZr u x A2E5H9KcNfRiUlXp s v y0C3F6IaLdOgSjVnYq t w z1D4G8JbMeQhTkWoZr u x B2E5H9KcOfRiUmXp s v z0C3F7IaLdPgSkVnYq t w A1D5G8JbNeQhTlWoZr u y B2E6H9KcOfRjUmXp s v z0C4F7IaMdPgSkVnZq t x A1D5G8KbNeQiTlWo r v y B3E6H9LcOgRjUmYp s w z1C4F7JaMdPhSkVnZq u x A2D5G8KbNfQiTlXo r v y0B3E6I9LcOgRjVmYp t w z1C4G7JaMePhSkWnZr u x A2D5H8KcNfQiUlXo s v y0B3F6I9LdOgRjVmYq
