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1、单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版副标题样式 1 运 筹 学 动态规划应用举例 4 复合系统工作可靠性问题 某种工作系统由n个部件串联组成 称部件正常工作的概率为部 件的可靠性 称整个系统正常工作的概率为系统的可靠性 如图 部件1部件2部件n 在这样的串联系统中 只要有一个部件失灵 整个系统就不能 正常工作 为了提高系统工作的可靠性 可以给各部件设置备用件 并且设计备用件自动投入装置 一旦部件损坏 则备用件自动投 入运行 显然 部件的备用件越多 部件的工作可靠性就越大 从 而 整个系统的工作可靠性也就越大 但是备用件多了 整个系统 的成本 重量 体积都相应增大 而系统所允许的总成本 总
2、重量 总体积往往都是有限的 因此 复合系统工作可靠性问题主要讨 论在上述限制条件下 如何选择各部件的备用件数量 使系统的工 作可靠性最大 下面我们先研究这类问题的数学模型 设部件i 装有ui个备用件时 它正常工作的概率为pi ui 因此整 个系统正常工作的概率为 设装部件i 的一个备用件费用为ci元 要求总费用不超过C元 则 这个问题只有一个约束条件 它的静态模型为 这是一个非线性规划问题 象资源分配问题一样 可以用动 态规划方法求解这类问题 不过与以前的资源分配问题不同 本 问题的总效果不是等于各阶段效果的和 而是各阶段效果的乘积 下面构造它的动态规划模型 以向各部件分配备用件的顺序为阶段
3、k 1 2 n 以k阶段初拥有的未分配的费用数xk为状态变量 决策变量uk 表示部件k拥有的元件数 则 xk 1 xk ckuk 记fk xk 为部件k至部件n最大工作可靠性 则 fk xk max pk uk fk 1 xk 1 fn 1 xn 1 1 k n n 1 2 1 例6 某工厂设计一种电子设备 由D1 D2 D3串联组成 已知 三种元件的单价和可靠性如下表所示 要求设计中所使用的费用不 超过105元 试问应如何设计 可使设备的可靠性最大 元 件单价 ck 元 可靠性 pk D1300 9 D2150 8 D3200 5 解 按元件种类分成三个阶段 k 1 2 3 设状态变量xk表
4、示 从元件Dk到D3允许使用的费用 决策变量uk为部件Dk所使用的并联 元件个数 则 xk 1 xk ckuk 用可靠性作为指标 则部件的可靠性 为1 1 pk uk 记fk xk 为部件Dk至部件D3的最大工作可靠性 则 fk xk max 1 1 pk uk fk 1 xk 1 f4 x4 1 k 3 2 1 k 3 x3 105 30 15 105 30 15 2 105 30 15 3 或 105 30 2 15 60 45 30 f3 30 0 5 u3 30 1 f3 45 1 1 0 5 2 0 75 u3 45 2 f3 60 1 1 0 5 3 0 875 u3 60 3 k
5、 2 x2 105 30 105 30 2 75 45 f2 45 0 8 f3 30 0 8 0 5 0 4 u2 45 1 1 1 0 8 3 f3 30 0 992 0 5 f2 75 max 1 1 0 8 2 f3 45 max 0 96 0 75 0 8 f3 60 0 8 0 875 max 0 496 0 72 0 7 0 72 u2 75 2 k 1 x1 105 f1 105 max 1 1 0 9 2 f2 45 0 9 f2 75 max 0 99 0 4 0 9 0 72 max 0 396 0 648 0 648 u1 105 1 最优设计方案 D1 1 个 D2 2 个 D3 2 个 最大可靠性为0 648 总费用100元
