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1、高中函数性质总结 函数的基本性质 一、函数的单调性函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用比较大小，解不等式，求最值。 定义（略）定理12121,xxbaxx?那么1212()()f x()0xxf x?(?1212()f x)0()f x,f xa bxx?在上是增函数；1212()()f x()0xxf x?(?上是增函数；()xb,axff)(0在?上是减函数.1.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法2.复合函数的单调性的判定对于函数()f uy=和()g xu=，如果函数()g xu=在区间(,)a b上具有单调性，当(
2、),xa b时(),um n，且函数()f uy=在区间(,)m n上也具有单调性，则复合函数()f g xy=在区间(),ab具有单调性。 3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断对于两个单调函数()f x和()g x，若它们的定义域分别为I和J，且IJ? (1)当()f x和()g x具有相同的增减性时，1()F x()f x()g x=+的增减性与()f x相同，2()F x()f x()g x=?、3()F x()f x()g x=?、4()f x()()g x0)()F xg x=的增减性不能确定； (2)当()f x和()g x具有相异的增减性时，我们假设()f x为增函
3、数，()g x为减函数，那么1()F x()f x()g x=+的增减性不能确定；2()F x()f x()g x=?、3()F x()f x()g x=?、4()f x()()g x0)()g xF x=为增函数，5()g x()()f x0)()f xF x=为减函数。 4.奇偶函数的单调性奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 二、函数的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质,对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。 1.函数()f xy=的图象的对称性（自身）:定
4、理1:函数()f xy=的图象关于直2abx+=对称()()f axfb x?()f x+=?()f ab x+?=特殊的有函数()f xy=的图象关于直线xa=对称()()f axf ax?+=? (2)()f xfax?=。 函数()f xy=的图象关于y轴对称（奇函数）)()(xfxf=?。 函数)(axfy+=是偶函数)(xf?关于ax=对称。 定理2函数()f xy=的图象关于点(,)ab对称()f x)=2 (2)bf ax?=b?xafxaf2()(+特殊的有函数()f xy=的图象关于点(,0)a对称()f x (2)f ax?=?。 函数()f xy=的图象关于原点对称（奇函
5、数）)()(xfxf?=?。 函数)(axfy+=是奇函数)(xf?关于点()0,a对称。 定理3（性质）若函数y=f(x)的图像有两条铅直对称轴x=a和x=b(a不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。 若函数y=f(x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。 若函数y=f(x)图像同时关于点A(a,c)和点B(b,c)成中心对称（ab），则y=f(x)是周期函数，且2|ab|是其一个周期。 若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x对称。 2.两个函数图象的对称性:函数()f xy=与
6、函数()yfx=?的图象关于直线0x=(即y轴)对称.函数()yf mxa=?与函数()yf bmx=?的图象关于直线2abxm+=对称.特殊地:()yf xa=?与函数()yf ax=?的图象关于直线xa=对称函数()f xy=的图象关于直线xa=对称的解析式为 (2)yfax=?函数()f xy=的图象关于点(,0)a对称的解析式为 (2)yfax=?函数y=f(x)与ax=f(ay)的图像关于直线x+y=a成轴对称。 函数y=f(x)与xa=f(y+a)的图像关于直线xy=a成轴对称。 函数y=f(x)的图像与x=f(y)的图像关于直线x=y成轴对称。 3奇偶函数性质对于两个具有奇偶性的
7、函数()f x和()g x，若它们的定义域分别为I和J，且IJ? （1）满足定义式子)()(xfxf=?（偶）0)()(=?+xfxf（奇） （2）在原点有定义的奇函数有0)0(f= (3)当()f x和()g x具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么函数1()F x()f x()g x=+、3()F x()f x()g x=?也为奇函数；2()F x()f x()g x=?、4()f x()()g x0)()F xg x=为偶函数；两个偶函数之和、差、积、商为偶函数奇函数奇函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数.简单地说 (4)当
8、()f x和()g x具有相异的奇偶性时，那么1()F x()f x()g x=+、3()Fx()f x()g x=?的奇偶性不能确定；2()Fx()f x()gx=?、4()f x()()gx0)()F xgx=、5()gx()()f x0)()f xFx=为奇函数。 （6）任意函数)(xf均可表示成一个奇函数)() (21)(xfxfxg?=与一个偶函数)() (21)(xfxfxh?+=的和。 （7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数 （8）图形的对称性关于y轴对称的函数（偶函数）关于原点()0,0对称的函数（奇函数） （9）若)(xf是偶函数，则必有)b()(a
9、xfbaxf+?=+若)(xf是奇函数，则必有)b()(axfbaxf+?=+ （10）若)(baxf+为偶函数，则必有)()(baxfbaxf+?=+若)(baxf+是奇函数，则必有)()(baxfbaxf+?=+ （11）常见的奇偶函数 三、函数的周期性函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。 1.周期性的定义对于函数)(xfy=，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有)()(xfTxf=+都成立，那么就把函数)(xfy=叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做
10、最小正周期。 如果非零常数T是函数()f x的周期，那么T?、nT（*nN）也是函数()f x的周期。 2.函数的周期性的主要结论结论1如果()()（af xaf x b+=+b），那么()f x是周期函数，其中一个周期Tab=?结论2如果()()f xaf x b+=?+（ab），那么()f x是周期函数，其中一个周期2Tab=?结论3如果定义在R上的函数()f x有两条对称轴xa=、xb=对称，那么()f x是周期函数，其中一个周期2Tab=?结论4如果偶函数()f x的图像关于直线xa=（0a）对称，那么()f x是周期函数，其中一个周期2Ta=结论5如果奇函数()f x的图像关于直线x
11、a=（0a）对称，那么()f x是周期函数，其中一个周期4Ta=结论6如果函数同时关于两点(),a c、(),b c（ab）成中心对称，那么()f x是周期函数，其中一个周期2Tab=?结论7如果奇函数()f x关于点(),a c（0a）成中心对称，那么()f x是周期函数，其中一个周期2Ta=结论8如果函数()f x的图像关于点(b=),a c（0a）成中心对称，且关于直线x（ab）成轴对称，那么()f x是周期函数，其中一个周期4Tab=?结论9如果1()()f xf xp+=或1()()f xf xp+=?，那么()f x是周期函数，其中一个周期2Tp=结论10如果1()f x()21(
12、)f xpf x+?+=或1()f x()21()f xpf x?+=，那么()f x是周期函数，其中一个周期2Tp=结论11如果()()f xf xp+=?，那么()f x是周期函数，其中一个周期2Tp=例1定义在R上的非常数函数满足f(10+x)为偶函数，且f(5x)=f(5+x),则f(x)一定是（）（第十二届希望杯高二第二试题）(A)是偶函数，也是周期函数(B)是偶函数，但不是周期函数(C)是奇函数，也是周期函数(D)是奇函数，但不是周期函数解f(10+x)为偶函数，f(10+x)=f(10x).f(x)有两条对称轴x=5与x=10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，x=0即
13、y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。 故选(A)例6.求证:若()f x()xR为奇函数，则方程()f x=0若有根一定为奇数个。 证:?()f x为奇函数()0f=-()0f?=()0f2()0f=0即x=0是方程()f x=0的根若1x是()f x=0的根，即()f x1=0由奇数定义得()1fx?=?()f x1=01x?也是方程的根即方程的根除x=0外成对出现。 方程根为奇数个。 例2设定义域为R的函数y=f(x)、y=g(x)都有反函数，并且f(x1)和g-1(x2)函数的图像关于直线y=x对称，若g (5)=1999，那么f (4)=（）。 （A）1999；（B）
14、2000；（C）xx；（D）xx。 解y=f(x1)和y=g-1(x2)函数的图像关于直线y=x对称，y=g-1(x2)反函数是y=f(x1)，而y=g-1(x2)的反函数是:y=2+g(x),f(x1)=2+g(x),有f(51)=2+g (5)=xx故f (4)=xx,应选（C）例3.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)=f(1x),当1x0时，f(x)=21x，则f(8.6)=_（第八届希望杯高二第一试题）解f(x)是定义在R上的偶函数x=0是y=f(x)对称轴；又f(1+x)=f(1x)x=1也是y=f(x)对称轴。 故y=f(x)是以2为周期的周期函数，f(8.6)=f(8
15、+0.6)=f(0.6)=f(0.6)=0.3例4.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=f(x),当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=（）(A)0.5(B)0.5(C)1.5(D)1.5解y=f(x)是定义在R上的奇函数，点（0，0）是其对称中心；又f(x+2)=f(x)=f(x)，即f(1+x)=f(1x)，直线x=1是y=f(x)对称轴，故y=f(x)是周期为2的周期函数。 f(7.5)=f(80.5)=f(0.5)=f(0.5)=0.5故选(B) 一、反函数的性质和应用 （1）定义域值域相反 （2）图象关于xy=对称 （3）具有相同的单调性、奇偶性 （4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的
