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1、1,第九章 数字信号处理中的有限字长效应,9.1 有限字长效应及量化误差 9.2 数字滤波器系数量化误差分析9.3 定点运算IIR和FIR数字滤波器误差分析9.4 浮点运算数字滤波器和FFT算法中的有限字长效应,2,内容提要,量化误差 (1) A/D变换器中的量化误差。 (2) 滤波器的系数量化误差。 (3) 运算中的量化误差。 研究有限字长效应目的： （1）若字长固定，进行误差分析，可知结果的可信度，否则若可信度差，要采取改进措施。 （2）用专用DSP芯片实现数字信号处理时，定点与硬件采用字长有关。,3,9.1有限字长效应及量化误差,9.1.1 有限字长效应9.1.2 信号的量化误差9.1.
2、3 A/D变换器中的量化效应,4,9.1.1 有限字长效应,信号处理在具体实现时，字长总是有限的，因为存储器是有限字长的，所以有限字长效应有DF的有限字长效应、DFT（FFT）有限字长效应、A/D变换器的量化误差。即有限字长意味着：有限运算精度和有限动态范围。在量化和运算过程中，由于有限字长必然产生误差，这些误差会给数字信号处理的实现精度和滤波器稳定性带来不良影响。如一个线性、非移变、因果系统的差分方程为：,5,输入序列x(n)、输出序列y(n)以及方程中的系数ai、bi等，认为它们的数值是可以连续变化的，即：无限精度。但当具体实现一个离散系统时，无论用软件方式还是硬件方式，都是以数字形式实现
3、，因而都要对数据进行量化处理，即用有限字长来表示。下面从数据的量化角度来分析误差来源及其影响。数的表示方法有定点制和浮点制。定点制指的是数码中小数点的位置固定不变，其不足是动态范围小，有溢出问题。而浮点制可以避免这个缺点，它的动态范围大，可以避免溢出，不需要比例因子。浮点制是将一个数表示成尾数和指数两部分。在浮点制运算中，不论是相乘还是相加，尾数的位数都可能超过寄存器长度，都要做尾数的量化处理，因而都有量化误差。,9.1.1 有限字长效应,6,9.1.1 有限字长效应,数的二进制编码形式有原码、反码和补码。 二进制编码长度比寄存器长度长时，要进行尾数处理，处理的方法有舍入法和截尾法。 量化误差
4、的大小及性质与数的表示方法、二进制编码形式及具体尾数处理方法有关，更与寄存器的长度有关。另外系统的结构不同，将会明显地影响系统输出的量化误差。,7,对于一个线性系统，有限字长效应造成数字信号处理输出的误差表现为：（一）如果被处理的是模拟信号,则需经过模/数转换器变成某一种编码方式的二进制数序列。 取样和量化是模/数转换器的两个主要过程。 量化过程可以模型化为取样序列叠加上量化噪声，从而得到量化信号。对于一个线性系统，量化后的信号经滤波后得到的输出信号y(n)为两部分之和，一部分是输入信号x(n)通过滤波器产生的输出:y(n)= x(n) *h(n),另一部分是量化噪声e(n)通过滤波器产生的输
5、出:e0=e(n)*h(n),这里h(n)为是滤波器的冲激响应。即，输入信号的量化在滤波器输出端引起了噪声，这个噪声的大小与输入信号量化时的字长有关系。,9.1.1 有限字长效应,8,（二）系统中滤波器系数的量化处理，即用有限位二进制数来表示，则必然会引入量化误差。 对于某些结构类型的滤波器（例如，具有反馈支路的递归滤波器结构）来说，其零点和极点的位置对于滤波器系数的变化特别敏感，因而滤波器系数由于量化误差引起的微小改变，都有可能对滤波器的频率响应特性产生很大的影响，尤其是在单位圆内且非常靠近单位圆的极点，一旦由于滤波器系数的量化误差，使这些极点跑到单位圆上或圆外时，滤波器就失去了其原有的稳定
6、性。,9.1.1 有限字长效应,9,（三）采用“截尾”或“舍入”的处理方法将运算结果依据寄存器字长的大小进行处理，这会引入截尾误差或舍入误差。 有限字长效应造成的误差，与以下几个问题有关：量化方式是截尾还是舍入；负数用二进制数的原码表示，还是用反码或补码表示；算术运算是用定点运算还是用浮点运算；采用什么类型的系统结构 (例如，对于数字滤波器来说，是采用递归结构还是非递归结构，是采用高阶直接实现的结构还是采用由低阶节组成的级联结构或并联结构)。,9.1.1 有限字长效应,10,9.1.2 信号的量化误差,在实际应用中待处理信号往往都是一些模拟信号： 声音、图像、电压、水流、气温、压力、心电图等。
7、 借助A/D转换将模拟信号转变成数字信号，然后再进行后续的相关处理。如有必要再通过D/A转换，将数字信号还原为可听、可视的模拟信号。 在这种转换过程当中，时域采样是数字技术处理连续信号的重要环节。采样就是指利用“采样器”从连续信号中“抽取”信号的离散序列样值，即称之为“采样”信号。“采样”也称“取样”、“抽样”。采样信号在时间上离散化了，但它还不是数字信号，还须经过量化编码才能转变为数字信号。即要将模拟信号抽样和量化，使之转换成一定字长的数字序列值信号。,11,数字序列值用有限长的二进制数表示 例如序列值(0.729156)10=(0.101110101010101)2， 若限制用八位二进制数
8、来表示，则为（0.10111010）2，而（0.10111010）2=（0.7265625）10，那么， 引起的误差为：0.729156-0.7265625=0.0025935，该误差称为量化误差。 这是在二进制数的存储方面。 另一方面，在定点制的乘法以及浮点制的加法和乘法在运算结束后都会使字长增加，因而都需要再对尾数进行处理，其误差取决于所用的二进制的位数b、数的运算方式（定点制或浮点制）、负数的表示法以及对尾数的处理方法。,9.1.2 信号的量化误差,12,假设序列值用b+1位二进制数来表示，其中用1位来表示符号，用b位表示尾数，最小码位所表示的数值称为“量化步阶”或“量化宽度”，用来表示
9、，则q=2-b 。 如果二进制编码的尾数长于b，则必须要进行尾数处理，且处理成b位，也即量化。尾数处理有两种方法，即截尾法和舍入法。,9.1.2 信号的量化误差,13,截尾法是将尾数的第b+1位以及后面的二进制码全部略去。舍入法是按最接近的值取b位值，即将第b+1位按逢1进位，逢0不进位，然后略去后面的b+1位。显然这两种处理方法所引起的误差是不同的。对于定点制二进制数的舍入法，原码、反码和补码的量化误差ei是相同的，范围是：-q/2eiq/2。对于截尾法，不同的编码其量化误差ei的范围也不相同：定点制正数原码的量化误差ei的范围为：-q ei 0；定点负数原码的量化误差ei的范围为：0 ei
10、 q 。定点补码的量化误差ei的范围为：-q ei 0。,9.1.2 信号的量化误差,14,1下面是定点制运算中的截尾误差和舍入误差。,9.1.2 信号的量化误差,（a）补码 （b）原码、反码图9-1 截尾处理的量化特性（q=2-b）,图9-2 舍入处理的量化特性,15,表9-1 定点运算中的截尾和舍入误差（q=2-b）,9.1.2 信号的量化误差,16,2浮点制运算中的截尾误差和舍入误差。 表9-2 浮定点运算中的相对误差,9.1.2 信号的量化误差,17,由以上分析可以看出，舍入和截尾都产生非线性关系。定点补码截尾法量化噪声的统计平均值为-q/2，相当于给信号增加了一个直流分量，从而改变了
11、信号的频谱结构；而舍入法的统计平均值为0，这一点比定点补码截尾法好。为了研究量化误差对数字信号处理系统精度的影响，必须了解舍入和截尾误差的特型，一般最方便的方法是把这些量化误差看成随机变量，对每种误差求出概率密度函数，并进行较为合理的假设，即量化误差在整个可能出现的范围内是等概率的，也就是均匀分布的。对于定点制，变量为绝对误差ET ，对于浮点制，变量为相对误差R。,9.1.2 信号的量化误差,18,9.1.3 A/D变换器中的量化效应,A/D（模/数）变换器完成的是将模拟信号转换成数字信号的作用，即将输入的模拟信号x(t)转换为b位二进制数字信号。变换器位数有限，因此存在量化误差。分析A/D变
12、换器 量化效应的目的在于选择合适的字长，以满足信噪比指标。 假设用e(n)表示量化误差，x(n)表示没有量化误差的抽样序列数字信号（即无限精度），量化器对每个抽样序列x(n)进行截尾或舍入的量化处理，用表示量化编码后的信号，则 = x(n)+ e(n) x(n)是有用信号，e(n)呈现噪声的特点，相当于在A/D变换器中引入一个噪声源。这样A/D变换器的输出中除了有用信号以外，还增加了一个噪声信号。,19,A/D变换器的统计模型如图9-3所示。图中的理想A/D变换器没有量化误差，实际中的量化误差是在输出端叠加一个等效的噪声源e(n)。 图9-3 A/D变换器的统计模型,9.1.3 A/D变换器中
13、的量化效应,20,由于在抽样模拟信号的数字处理中，把量化噪声看成相加性噪声序列，量化过程看成是无限精度的信号与量化噪声的叠加，因而信噪比是一个衡量量化效应的重要指标。,9.1.3 A/D变换器中的量化效应,21,一般A/D变换器采用定点制，尾数采用舍入法。若共有b+1位，符号占1位，尾数为b位，量化步阶为q=2-b。为了简化分析，对该模型做如下假设：（1）e(n)是白噪声序列；（2）e(n)与x(n)不相关；（3）e(n)在自己的取值范围 内呈均匀分布。,9.1.3 A/D变换器中的量化效应,22,图9-4给出的是舍入量化噪声概率密度函数曲线。e(n)的统计平均值为 =0，平均功率（即均方差）
14、为 。A/D变换器的输出信噪比S/N 用信号平均功率与舍入量化噪声的平均功率之比 表示，即 则信噪比的分贝数为： （9-1）,9.1.3 A/D变换器中的量化效应,23,上式表明：（1）A/D变换器输出的信噪比与A/D变换器的字长有关；（2）与输入信号的平均功率有关。结论为：（1）A/D变换器量化字长每增加1位，输出信噪比约可以提高6dB。但是b受到输入信号的信噪比的限制；（2）输入信号越大则输出信噪比越高。但一般A/D变换器的输入都有一定的动态范围限定，否则过大的动态范围，会发生限幅失真。实际应用中线性A/D一般要求12位以上满足通信要求，非线性A/D一般要求8位以上满足通信要求。,9.1.
15、3 A/D变换器中的量化效应,24,9.2.1 系数量化误差对滤波器稳定性的影响 9.2.2 系数量化误差对滤波器零、极点位置的影响,9.2 数字滤波器系数量化误差分析,25,前面讨论中，在设计理想数字滤波器时，各滤波器系数bk，ak都是无限精度的。但实际实现系统函数时，滤波器系数都是被量化了的，所有系数只能用有限字长的二进制数来表示。系数的量化误差，在不同程度上使滤波器的零点和极点偏离设计中预定的位置，从而影响到滤波器的频率特性偏离设计的要求，在量化误差严重时，如果z平面单位圆内极点偏移到单位圆外，使滤波器性能不稳定而无法使用。系数量化效应对滤波器性能的影响与寄存器的字长有直接的关系，并且和滤波器结构形式也同样密切相关。选择合适的系统结构，可以减小系数量化带来的影响，帮助我们选择合适的字长，为滤波器的工程实现提供依据，从而设计出符合频率响应指标要求的系统。,9.2 数字滤波器系数量化误差分析,
