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1、第七章真空中的静电场q2q-4q2q习题71图71 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力将相互抵消，单位正电荷所受的力为方向由q指向-4q。72 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为。（1）求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。解：（1）如图72 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dqldx，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则0dqxdx,P习题72 图ax则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为
2、方向沿x轴正向。（2）如图72 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y0dqxdx,P习题72 图bydEqyQq00， 因，代入上式，则，方向沿x轴负向。73 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。解：如图，在半环上任取dl=Rdq的线元，其上所带的电荷为dq=lRdq。对称分析Ey=0。dqqqdExy习题73图R，如图，方向沿x轴正向。74 如图线电荷密度为1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为2的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。解：在2的带电线上任取一dq，1的带电线是无限长，它在dq处产生的
3、电场强度由高斯定理容易得到为，a12习题74图0xdq两线间的相互作用力为如图，方向沿x轴正向。75 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Qq，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为相互作用力最大的条件为由上式可得：Q=2q，q=Q/276 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。 yqr习题76图o解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为dq在o点产生的电场据（710）式为，。如图，方向沿y轴负向。77 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量
4、。S1S2E习题77图解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2，成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，即78 求半径为R，带电量为q的空心球面的电场强度分布。解： 由于电荷分布具有球对称性，因而它所产生的电场分布也具有球对称性，与带电球面同心的球面上各点的场强E的大小相等，方向沿径向。在带电球内部与外部区域分别作与带电球面同心的高斯球面S1与S2。对S1与S2，应用高斯定理，即先计算场强的通量，然后得出场强的分布，分别为r0R习题718图得 （rR)79 如图所示，厚度为d的“无限大”均匀带电平板，体电荷密度为，求板内外的电场分布。解:带电平板均匀带电，在厚度为d/2的平分街面上电场强度为
5、零，取坐标原点在此街面上，建立如图坐标。对底面积为A，高度分别为xd/2的高斯曲面应用高斯定理，有d习题79图0xE得 710 一半径为R的无限长带电圆柱，其体电荷密度为，0为常数。求场强分布。习题710图ro解： 据高斯定理有时：时：711 带电为q、半径为R1的导体球，其外同心地放一金属球壳，球壳内、外半径为R2、R3。（1）球壳的电荷及电势分布；（2）把外球接地后再绝缘，求外球壳的电荷及球壳内外电势分布；（3）再把内球接地，求内球的电荷及外球壳的电势。解：（1）静电平衡，球壳内表面带q，外表面带q电荷。据（723）式的结论得： oR1R2R3q-qq习题711图（2） （3）再把内球接地
6、，内球的电荷及外球壳的电荷重新分布设静电平衡，内球带q/，球壳内表面带q/，外表面带q/q。得：712 一均匀、半径为R的带电球体中，存在一个球形空腔，空腔的半径r(2rR），细线近端离球心的距离为L。设球和细线上的电荷分布固定，试求细线在电场中的电势能。解：在带电细线中任取一长度为dr的线元，其上所带的电荷元为dq=ldr，据（723）式带电球面在电荷元处产生的电势为orQdr习题714图电荷元的电势能为: 细线在带电球面的电场中的电势能为： *715 半径为R的均匀带电圆盘，带电量为Q。过盘心垂直于盘面的轴线上一点P到盘心的距离为L。试求P点的电势并利用电场强度与电势的梯度关系求电场强度。
7、解：P到盘心的距离为L，p点的电势为p习题715图xo圆盘轴线上任意点的电势为利用电场强度与电势的梯度关系得：P到盘心的距离为L，p点的电场强度为：716 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷Q1和Q2。求：（1）各区城电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面间的电势差为多少？解：（1）据（723）式的结论得各区城电势分布为oQ1Q2R1R2习题716图 （2）两球面间的电势差为717 一半径为R的无限长带电圆柱，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为，若取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。习题710图ro解： 据高斯定理有时：时，V=0，则时：RroV时：空间电势分布并
8、画出电势分布曲线大致如图。718 两根很长的同轴圆柱面半径分别为R1、R2，带有等量异号的电荷，两者的电势差为U，求：（1）圆柱面单位长度带有多少电荷？（2）两圆柱面之间的电场强度。解：设圆柱面单位长度带电量为l，则两圆柱面之间的电场强度大小为习题718图ro两圆柱面之间的电势差为由上式可得：所以719 在一次典型的闪电中，两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，如果释放出来的能量都用来使00C的冰熔化成00C的水，则可融化多少冰?（冰的熔解热为3.34105Jkg-1)解：两个放电点间的电势差约为109V，被迁移的电荷约为30库仑，其电势能为上式释放出来的能量可融化冰的质
9、量为：8.98104kg720 在玻尔的氢原子模型中，电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动。（1）若把电子从原子中拉出来需要克服电场力作多少功?（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为多少？解：电子沿半径为a的玻尔轨道上绕原子核作圆周运动，其电势能为（1）把电子从原子中拉出来需要克服电场力作功为：（2）电子在玻尔轨道上运动的总能量为：电子的总能量为：第八章 静电场中的导体与电介质81 点电荷+q处在导体球壳的中心，壳的内外半径分别为Rl和R2，试求，电场强度和电势的分布。解：静电平衡时，球壳的内球面带q、外球壳带q电荷在rR1的区域内R2R1习题 81图q-qq，在R1rR2的区域内:82
10、 把一厚度为d的无限大金属板置于电场强度为E0的匀强电场中，E0与板面垂直，试求金属板两表面的电荷面密度。E0E0习题 82图s1s2解：静电平衡时，金属板内的电场为0，金属板表面上电荷面密度与紧邻处的电场成正比所以有83 一无限长圆柱形导体，半径为a，单位长度带有电荷量l1，其外有一共轴的无限长导体圆简，内外半径分别为b和c，单位长度带有电荷量l2，求（1）圆筒内外表面上每单位长度的电荷量；（2）求电场强度的分布。解：（1）由静电平衡条件，圆筒内外表面上每单位长度的电荷量为习题 83图（2）在ra的区域内:E=0在ab的区域内:Een84 三个平行金属板A、B和C，面积都是200cm2，A、
11、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板都接地，如图所示。如果A板带正电3.0107C，略去边缘效应（1）求B板和C板上感应电荷各为多少?（2）以地为电势零点，求A板的电势。ABC习题 84图d1d2解：（1）设A板两侧的电荷为q1、q2，由电荷守恒原理和静电平衡条件，有（1），（2）依题意VAB=VAC,即代入（1）（2）式得q11.010-7C，q22.010-7C，qB1.010-7C，qC=-q22.010-7C，（2）=2.3103V85 半径为R1=l.0cm的导体球带电量为q=1.01010 C，球外有一个内外半径分别为R2=3.0cm和R3=4.0cm的同心导体球壳，
12、壳带有电量Q=111010 C，如图所示，求（1）两球的电势；（2）用导线将两球连接起来时两球的电势；（3）外球接地时，两球电势各为多少？（以地为电势零点）解：静电平衡时，球壳的内球面带q、外球壳带q+Q电荷（1）代入数据习题 85图q-qq+Q3.3102V=2.7102V（2）用导线将两球连接起来时两球的电势为=2.7102V（3）外球接地时，两球电势各为60Vq2AB习题 86图q1q3q486 证明:两平行放置的无限大带电的平行平面金属板A和B相向的两面上电荷面密度大小相等，符号相反，相背的两面上电荷面密度大小等，符号相同。如果两金属板的面积同为100cm2，带电量分别为QA=6108 C和QB=4108C，略去边缘效应，求两个板的四个表面上的电面密度。证：设A板带电量为QA、两侧的电荷为q1、q2，B板板带电量为QB、两侧的电荷为q3、q4。由电荷守恒有（1）（2）在A板与B板内部取两场点，
