概率论教学课件作者工程 概率论部分——第三讲 兼容模式

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1、2014 9 26北京邮电大学电子工程学院1 1 2 8联合分布函数和边缘分布函数联合分布函数和边缘分布函数 1 2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 0 1 lim 0 lim 0 li 1 m 0 2 8 XYX Y XY x y x y x y F x yPxy F x y F x yxy F x y FyF x y F xF x y FF x y Flm 称二元函数为二维随机变量 的分布函数 或随机变量 与随机变量 的 定义 1 联合分布分布函数 有如下性质 分别 2 关于 单调不减 且 1F x y 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院2 1 2 随机变量及其概率分布随

2、机变量及其概率分布 0 0 3 F x yxy F xyF x y F x yF x y 分别关于 右连续 即 1122 12121212 4 0 abab F b bF b aF a bF a a 时 有 lim lim 1 28 X Y X Y X YXY y x FxF x yF x FyF x yFy 设二维离散型随机变量的分布函数为 分别为关于 和关于 的边缘分 定义 布函数 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院3 1 2 9联合概率密度和边缘概率密度联合概率密度和边缘概率密度 1 2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1 29X Y R F x y f x yx y

3、对随机变量的分布函数 存在非负函数 使得对任 义 意的 有 定 yx F x yf u v dudv X YX Y XY f x y称为二维连续型随机变量 为的概率 密度 或随机变量 和随机变量 的联合概率密度 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院4 1 2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 f x y 有如下性质 2 0 1 1 2 3 4 G X YG G f x y f x y dxdy F x y f x yx yf x y x y x y Pf x y dxdy 在连续 则 随机点落在平面区域 内的概率 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院5 1 2 随机变量及其

4、概率分布随机变量及其概率分布 1 30 X Y X Y X YXY f x y fxf x y dy fyf x y dx 函数为的概率密度 则称 分别成为关于 和 的边缘概率密度 定义 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院6 1 2 10随机变量的独立性和条件分布随机变量的独立性和条件分布 1 2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1 30 XY XY X Y R XY F x yFxFy x y F x yFx Fy 设 分别为的联合分布 函数和边缘分布函数 若对 定 任意的 有 则称随机变量 和随机变量 义 相互独立 XY X Y XY X Y XY ij pp ipj f

5、 x y fx fy 特别地 若为二维离散型随机变量 若有 则称随机变量 和 相互独立 若为二维连续型随机变量 若有 也称随机变量 和 相互独立 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院7 1 2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1 12XY XY f xg yx yfg 若随机变量 和 相互独立 分别是 和 的连续函数 则 也是相互独立的随 定理 机变量 3 0 11XY X YXY Y X X X Y Y YX ij ij j i i ij i j j pp ipj p ipj p y j PPx ix p i p x i PP jy pj y 设 和 为离散型随机变量 和分别

6、 为 和 的概率分布 设 则称 为条件下随机变量 的条件分布 同理也称 为条件下随机变量 定义 的条件分布 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院8 1 2 随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布 1 32 0 XY X YXY Y X X X Y Y YX j i ij ij yy i ii ij xx jj j pp ipj p ipj p yy FPx xx p i p xx FP yy pj y 设 和 为离散型随机变量 和分别 为 和 的概率分布 设 则称 为条件下随机变量 的分布函数 同理也称 为条件下随机变量 定义 的分布函数 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院9

7、0 0 0 0 0 Y X X YX YX YX X X x x x xPx Fyx lim Pyxxxx Py xxxx lim P xxxx F xx yF xx y lim F xxF xx P xxxx 当为连续型随机变量 对任意的 用 上面的方法无法定义 为此 我们考虑极限 其中 因此可给出下面的定义 1 2 10随机变量的独立性和条件分布随机变量的独立性和条件分布 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院10 0 0 0 0 1 33 Y X Y X X Y X X Y X Y x x F x yx P xxxx F xx yF xx y limFyx F xxF xx F xx

8、 yF xx y limx F xxF xx fx y F 设的分布函数为 若对任意的 且 存在 则将 定义为称其为条件 下 的条件分布函数 比初等概率论更完善 当的分布密度为 上式可表示为 定义 0 yxx xx xx x xx f u v dudv yxlim f u v dudv 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院11 1 340 Y X Y X X X X Y XY XY y y fx yfx y dy fx yx y fx v dv fx v Fyxdv fx fx v dv fx v xfyx fx x 若是的分布密度 定且 在处连续 定义 为条件下 的条件分布函数 并称

9、为条件下 的条件分 义 布密度 Y X y fx v dv Fyx fx v dv 利用中值定理 有 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院12 例例1 171 17 设二维随机变量的联合密度为设二维随机变量的联合密度为 0 0 0 1 2 31 0 1 00 0 00 XY X Y X Y X Y XY y yx x y yy xye fx y fxfy P x e dye fxfx y dy x y edxye fyfx y dx y 其它 的边缘概率密度 是否相互独立 说明理由 解 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院13 1 1 1 2 0 1 2 2 31 1 12 XY

10、X Y XY XY x y x f x yfxfy Pf x y dxdy dxe dy e e 由于 所以 不独立 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院14 1 2 11二维均匀分布和二维正态分布二维均匀分布和二维正态分布 略略 1 2 12随机变量函数的分布随机变量函数的分布 仅讨论连续型情形仅讨论连续型情形 一 一维随机变量函数的分布 0 0 1 0 13XYX YX f xg xgxgxg f h yhyy yh y g xmin gmax g 设随机变量 的概率密度为 函数处 处可导 对有 或 则随机变量 的概率密度为 其中 其它 为的反函数 定理 2014 9 26北京邮电大

11、学电子工程学院15 1 2 12随机变量函数的分布随机变量函数的分布 二 多维随机变量函数的分布 1 14 Z X Y ZX Y Z g x yz f x y g Fzpzf x y dxdy 设二维随机变量的联合概率密度为 函数为连续 理 函数 则 定 1 二维随机变量函数的分布 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院16 1 01 1 0 18 000 2 XY XY ZXY y xye fxfy y 设随机变量 相互独立 其概率分布分别为 其 例 它 求随机变量 的概率密度 2 2 2 010 0 Z XY ZXY XY XY x y z y FzPzf x y dxdy xye f

12、 x yfx fy 随机变量 的分布函数为 由于 相互独立 则 解 法一 其它 1 2 12随机变量函数的分布随机变量函数的分布 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院17 1 2 2 00 12 2 00 1 2 2 1 2 2 00 2 1 011 22 1 11 2 1 2 0 0 102 2 1 2 3 Z Z Z Z ZXY Z zx yz zx yzz z z z Fz z Fzdxe dyze z Fzdxe dyee z fzez z ee 因此随机变量 的分布函数为 当 当 当 从而 的概率密度为 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院18 1 2 2 1 2 222

13、 2020020 0 0 102 2 1 ZXYXY YX Z z z fzfxfzx dxfxfy zxfzxxfx z fzez z ee 也可以用卷积公式 若 有 且由 有 显然用卷积公式更简捷 但对二次积分定限的要求 解法二 更灵活 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院19 X XXX 11 1 1 1 11 1 1 1 1 2 3 1 15设设 维维随随机机变变量量 的的分分布布密密度度为为 元元函函数数满满足足条条件件 存存在在惟惟一一的的反反函函数数 即即方方程程组组 如如果果有有解解就就存存在在惟惟一一的的实实数数解解 和和都都是是连连续续函函数数 存存在在连连续续 定定

14、 数数 理理 偏偏导导 nn jn jjn jjn jnjn nfxx ngxxjn ygxxjn xxyyjn gxxxyy x 11 1 1 0 若若以以 表表示示行行列列式式 jj ii n nn n y JJacobi yx xx yy J xx yy 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院20 Y YYY 11 1 1111 1 0 则则由由构构成成的的 维维随随机机变变量量 的的分分布布密密度度 当当使使式式有有解解 其其他他 jjnn n nnnn gjnn fyy f xyyxyyJyy 1212 112 212 112 212 1212 0 1 9 1 设设的的分分布布密

15、密度度为为且且有有 其其中中令令 求求的的分分布布密密度度 例例 f xx yaxbxab ycxdxcd ab cd fyy 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院21 112 212 112 212 12 121212 1 0 1 方方程程组组有有惟惟一一解解 且且 于于是是得得的的 解解 布布密密 分分度度 yaxbx ycxdx db xyy ca xyy db J ca dbca fyyfyyyy 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院22 YYY 11 1 1 1 11 1 1 1 1 1 2 3 设设 维维随随机机变变量量 的的分分布布密密度度为为 元元函函数数满满足足条

16、条件件 存存在在 支支的的反反函函数数 即即方方程程组组 推推 有有 组组实实数数解解 和和都都是是连连续续函函数数 存存在在续续偏偏导导 论论 连连数数 nn jn jjn k jjn k jnjn nf xx ngxxjn m ygxxjn mxxyyjn km gxxxyy 11 1 1 0 若若以以 表表示示行行列列式式 k jj ii kk n kk nn n xy JJacobi yx xx yy J xx yy 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院23 Y YYY 1 1 1111 1 0 则则 维维随随机机变变量量的的分分布布密密度度 当当使使式式有有解解 其其他他 n n m kk nnnn k n fyy f xyyxyyJyy 22 12 2 2 12122 22 12 1 2 1 20 设设的的分分布布密密度度为为 求求的的分分布布密密度度 例例 xx f xxe U 2014 9 26北京邮电大学电子工程学院24 2 1 2 2 1 2 1 1 22 11222 2222 112112 21 2222 12 22221 1212 22 12 12 1 2