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1、 53 管 理 运 筹 学 第四章线性规划在工商管理中的应用 1 2 3 4 5 人力资源分配的问题生产计划的问题套裁下料问题配料问题投资问题 54 管 理 运 筹 学 1 人力资源分配的问题 例1 某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如表4 1所示 表4 1 班 次 时 间 所需人数 123456 6 00 10 0010 00 14 0014 00 18 0018 00 22 0022 00 2 002 00 6 00 607060502030 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班 并连续工作8h 问该公交线路怎样安排司机和乘务人员 既能满足工作需要 又使配备最少司
2、机和乘务人员的人数最少 55 管 理 运 筹 学 1 人力资源分配的问题 解 设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数 这样我们建立如下的数学模型 目标函数 minx1 x2 x3 x4 x5 x6 约束条件 s t x1 x6 60 x1 x2 70 x2 x3 60 x3 x4 50 x4 x5 20 x5 x6 30 x1 x2 x3 x4 x5 x6 0 最优解 x1 50 x2 20 x3 50 x4 0 x5 20 x6 10 一共需要司机和乘务人员150人 56 管 理 运 筹 学 1 人力资源分配的问题 例2 一家中型的百货商场对售货员的需求经过统计分析如表4 2所示 为
3、了保证售货员充分休息 要求售货员每周工作五天 休息两天 并要求休息的两天是连续的 问应该如何安排售货员的休息日期 既满足工作需要 又使配备的售货员的人数最少 表4 2 时 间 所需售货员人数 星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日 15242519312828 57 管 理 运 筹 学 1 人力资源分配的问题 解 设xi i 1 2 7 表示星期一至星期日开始休息的人数 这样我们建立如下的数学模型 目标函数 min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 约束条件 s t x1 x2 x3 x4 x5 28 x2 x3 x4 x5 x6 15x3 x4 x5 x6 x7 24x4 x5
4、x6 x7 x1 25x5 x6 x7 x1 x2 19x6 x7 x1 x2 x3 31x7 x1 x2 x3 x4 28x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 0 最优解 x1 12 x2 0 x3 11 x4 5 x5 0 x6 8 x7 0 我们可以配备36个售货员 使目标函数最小 58 管 理 运 筹 学 1 人力资源分配的问题 往往一些服务行业的企业对人力资源的需求一周内像例4 2所描述的那样变化 而每天的各时间段的需求又往往像例4 1描述的那样变化 在保证工作人员每天工作8h 每周休息两天的情况下 如何安排能使人员的编制最小呢 59 管 理 运 筹 学 2 生产计划的问题 例3
5、 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的问题 该公司生产甲 乙 丙三种产品 这三种产品都需要经过铸造 机加工和装配三道工序 甲 乙两种产品的铸件可以外包协作 亦可以自行生产 但产品丙必须本厂铸造才能保证质量 数据如表4 3所示 问 公司为了获得最大利润 甲 乙 丙三种产品各生产多少件 甲 乙两种产品的铸造中 由本公司铸造和外包协作各应多少件 表4 3 甲 乙 丙 资源限制 80001200010000 铸造工时 小时 件 机械加工工时 小时 件 装配工时 小时 件 自产铸件成本 元 件 外协铸件成本 元 件 机械加工成本 元 件 装配成本 元 件 产品售价 元 件 563352323 1042
6、561218 7824 3216 60 管 理 运 筹 学 2 生产计划的问题 解 设x1 x2 x3分别为三道工序都由本公司加工的甲 乙 丙三种产品的件数 x4 x5分别为由外包协作铸造再由本公司进行机械加工和装配的甲 乙两种产品的件数 每件产品的利润如下 产品甲全部自制的利润产品甲铸造外协 其余自制的利润产品乙全部自制的利润产品乙铸造外协 其余自制的利润产品丙的利润 23 3 2 3 15元 23 5 2 3 13元 18 5 1 2 10元 18 6 1 2 9元 16 4 3 2 7元 可得到xi i 1 2 3 4 5 的利润分别为15元 10元 7元 13元 9元 61 管 理 运
7、 筹 学 2 生产计划的问题 通过以上分析 可建立如下的数学模型 目标函数 max 15x1 10 x2 7x3 13x4 9x5 约束条件 s t 5x1 10 x2 7x3 8000 6x1 3x1 4x2 8x3 2x2 2x3 6x4 4x5 120003x4 2x5 10000 x1 x2 x3 x4 x5 0 该公司的最大利润为29400元 最优的生产计划为全部由自己生产的产品甲1600件 铸造工序外包而其余工序自行生产的产品乙600件 62 管 理 运 筹 学 2 生产计划的问题 例4 永久机械厂生产 三种产品 均要经过A B两道工序加工 设有两种规格的设备A1 A2能完成A工序
8、 有三种规格的设备B1 B2 B3能完成B工序 产品 可在A B的任何规格的设备上加工 产品 可在工序A的任何一种规格的设备上加工 但对B工序 只能在B1设备上加工 产品 只能在A2与B2设备上加工 数据如表4 4所示 问 为使该厂获得最大利润 应如何制定产品加工方案 表4 4 设 备 A1A2 57 产品单件工时 109 12 设备的有效台时600010000 满负荷时的设备费用300321 400070004000 250783200 B1B2B3原料 元 件 售价 元 件 6470 251 25 80 352 00 110 502 80 63 管 理 运 筹 学 2 生产计划的问题 解
9、设xijk表示第i种产品 在第j种工序上的第k种设备上加工的数量 建立如下的数学模型 s t 5x111 10 x211 6000 设备A1 9x212 12x3128x221 11x322 7x112 6x121 4x1227x123 10000 4000 7000 4000 设备A2 设备B1 设备B2 设备B3 x111 x112 x121 x122 x123 0 产品在A B工序加工的数量相等 x211 x212 x221 0 产品在A B工序加工的数量相等 x312 x322 0 产品在A B工序加工的数量相等 xijk 0 i 1 2 3 j 1 2 k 1 2 3 64 管 理
10、运 筹 学 2 生产计划的问题 目标函数为计算利润最大化 利润的计算公式为 利润 销售单价 原料单价 产品件数 之和 每台时的设备费用 设备实际使用的总台时数 之和 这样得到目标函数 max 1 25 0 25 x111 x112 2 0 35 x211 x212 2 80 0 5 x312 300 6000 5x111 10 x211 321 10000 7x112 9x212 12x312 250 4000 6x121 8x221 783 7000 4x122 11x322 200 4000 7x123 经整理可得 max0 75x111 0 7753x112 1 15x211 1 361
11、1x212 1 9148x312 0 375x121 0 5x221 0 4474x122 1 2304x322 0 35x123 该厂的最大利润为1146 6005元 65 3 套裁下料问题 例5 某工厂要做100套钢架 每套用长为2 9m 2 1m 1 5m的圆钢各一根 已知原料每根长7 4m 问 应如何下料 可使所用原料最省 解 共可设计下列8种下料方案 如表4 5所示 表4 5 2 92 11 5合计 m料头 m 1037 40 2017 30 1 0227 20 2 1207 10 3 0136 60 8 1116 50 9 0306 31 1 00461 4 设x1 x2 x3 x
12、4 x5 x6 x7 x8分别为上面8种方案下料的原材料根数 这样我们建立如下的数学模型 目标函数 min x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 约束条件 s t x1 2x2 x4 x6 100 2x3 2x4 x5 x6 3x7 100 3x1 x2 2x3 3x4 x6 4x8 100 x1 管 x2 理运 x3 筹 x4 x5 学 x6 x7 x8 0 66 管 理 运 筹 学 3 套裁下料问题 用管理运筹学软件计算得出最优下料方案 按方案1下料30根 按方案2下料10根 按方案4下料50根 即 x1 30 x2 10 x3 0 x4 50 x5 0 x6 x7 x8 0只需
13、90根原材料就可制造出100套钢架 注意 在建立此类型数学模型时 约束条件用大于等于号比用等于号要好 因为有时在套用一些下料方案时可能会多出一根某种规格的圆钢 但它可能是最优方案 如果用等于号 这一方案就不是可行解了 67 管 理 运 筹 学 3 套裁下料问题 若可能的下料方案太多 可以先设计出较好的几个下料方案 首先要求每个方案下料后的料头较短 其次方案总体能裁下所有各种规格的圆钢 且不同方案有着不同的各种所需圆钢的比 这样套裁即使不是最优解 也是次优解 也能满足要求并达到省料目的 如我们用前5种下料方案供套裁用 进行建模求解 也可得到上述最优解 68 管 理 运 筹 学 3 套裁下料问题
14、像例5那样在一个给定长度的原料上裁出不同长度的产品 是一个线裁问题 如果在一个一给定形状的面积上 裁出不同形状的产品 这是一个面裁问题 当然类似地还有体裁问题 例5告诉我们用套裁下料的方法解决线裁优化的问题 是否可以推广到面裁 体裁呢 答案是肯定的 我们只要像例5那样 设计出一些较好的下料方案 然后用类似的线性规划模型 即可解决这些问题 69 管 理 运 筹 学 4例6 某工厂要用三种原料 配料问题表4 6 1 2 3混合调配出三种不同规格的产品甲 乙 丙 数据如表4 6和表4 7所示 问 该厂应如何安排生产 使利润最大 解 设xij表示第i种 甲 乙 丙 产品中原料j的含量 这 样我们建立数
15、学模型时 要考虑 表4 7 对于甲 x11 x12 x13 对于乙 x21 x22 x23 对于丙 x31 x32 x33 对于原料1 x11 x21 x31 对于原料2 x12 x22 x32 对于原料3 x13 x23 x33 目标函数 利润最大 利润 收入 原料支出约束条件 规格要求4个 供应量限制3个 产品名称甲乙丙 规格要求原材料1不少于50 原材料2不超过25 原材料1不少于25 原材料2不超过50 不限 单价 元 kg 503525 原材料名称每天最多供应量11002100360 单价 元 kg 652535 70 管 理 运 筹 学 4 配料问题 利润 总收入 总成本 甲 乙
16、丙三种产品的销售单价 产品数量 甲 乙 丙使用的原料单价 原料数量 故有 目标函数 max 50 x11 x12 x13 35 x21 x22 x23 25 x31 x32 x33 65 x11 x21 x31 25 x12 x22 x32 35 x13 x23 x33 15x11 25x12 15x13 30 x21 10 x22 40 x31 10 x33约束条件 从表4 6中可知x11 0 5 x11 x12 x13 x12 0 25 x11 x12 x13 x21 0 25 x21 x22 x23 x22 0 5 x21 x22 x23 71 管 理 运 筹 学 4 配料问题 从表4 7中可知 生产甲 乙 丙的原材料不能超过原材料的供应限额 故有x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 100 x13 x23 x33 60 72 管 理 运 筹 学 4 配料问题 通过整理 得到以下模型 目标函数 maxz 15x11 25x12 15x13 30 x21 10 x22 40 x31 10 x33约束条件 s t 0 5x11 0 5 x12 0 5x13 0 原材
