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1、第六章习题1. 设是取自总体X的一个样本，在下列情形下，试求总体参数的矩估计与最大似然估计：（1），其中未知，；（2），其中未知，。2. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从参数为的泊松分布，其中未知，求的矩估计与最大似然估计，如得到一组样本观测值X01234频数17201021求的矩估计值与最大似然估计值。3. 设是取自总体X的一个样本，其中X服从区间的均匀分布，其中未知，求的矩估计。4. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中未知，求的矩估计。5. 设是取自总体X的一个样本，X的密度函数为 其中未知，求的矩估计和最大似然估计。6. 设是取自总体X的一个样本，总体X服从参数为的几何分
2、布，即，其中未知，求的最大似然估计。7. 已知某路口车辆经过的时间间隔服从指数分布，其中未知，现在观测到六个时间间隔数据（单位：s）：1.8,3.2,4,8,4.5,2.5，试求该路口车辆经过的平均时间间隔的矩估计值与最大似然估计值。8. 设总体X的密度函数为，其中未知，设是取自这个总体的一个样本，试求的最大似然估计。9. 在第3题中的矩估计是否是的无偏估计？解 故的矩估计量是的无偏估计。10. 试证第8题中的最大似然估计是的无偏估计。11. 设为总体的样本，证明都是总体均值的无偏估计，并进一步判断哪一个估计有效。12. 设是取自总体的一个样本，其中未知，令，试证是的相合估计。13. 某车间生
3、产滚珠，从长期实践中知道，滚珠直径X服从正态分布，从某天生产的产品中随机抽取6个，量得直径如下（单位：mm）：14.7,15.0,14.9,14.8,15.2,15.1，求的0.9双侧置信区间和0.99双侧置信区间。14. 假定某商店中一种商品的月销售量服从正态分布，未知。为了合理的确定对该商品的进货量，需对和作估计，为此随机抽取七个月，其销售量分别为：64，57，49，81，76，70，59，试求的双侧0.95置信区间和方差的双侧0.9置信区间。15. 随机地取某种子弹9发作试验，测得子弹速度的，设子弹速度服从正态分布，求这种子弹速度的标准差和方差的双侧0.95置信区间。16. 已知某炼铁厂
4、的铁水含碳量（1%）正常情况下服从正态分布，且标准差。现测量五炉铁水，其含碳量分别是：4.28,4.4,4.42,4.35,4.37（1%），试求未知参数的单侧置信水平为0.95的置信下限和置信上限。17. 某单位职工每天的医疗费服从正态分布，现抽查了25天，得元，元，求职工每天医疗费均值的双侧0.95置信区间。18. 某食品加工厂有甲乙两条加工猪肉罐头的生产线。设罐头质量服从正态分布并假设甲生产线与乙生产线互不影响。从甲生产线并假设抽取10只管头测得其平均质量，已知其总体标准差；从乙生产线抽取20只罐头测得其平均质量，已知其总体标准差，求甲乙两条猪肉罐头生产线生产罐头质量的均值差的双侧0.9
5、9置信区间。19. 为了比较甲、乙两种显像管的使用寿命X和Y，随机的抽取甲、乙两种显像管各10只，得数据和（单位：），且由此算得，假定两种显像管的使用寿命均服从正态分布，且由生产过程知道它们的方差相等。试求两个总体均值之差的双侧0.95置信区间。20. 在3091个男生，3581个女生组成的总体中，随机不放回地抽取100人，观察其中男生的成数，要求计算样本中男生成数的SE。21. 抽取1000人的随机样本估计一个大的人口总体中拥有私人汽车的人的百分数，样本中有543人拥有私人汽车，（1）求样本中拥有私人汽车的人的百分数的SE；（2）求总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间。习题解答1
6、. 解 （1），故的矩估计量有。另，X的分布律为，故似然函数为对数似然函数为：令 解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。（2），令，故的矩估计量。另，X的密度函数为 故似然函数为 对数似然函数为解得的最大似然估计量。可以看出的矩估计量与最大似然估计量是相同的。2. 解 ，故的矩估计量。由样本观测值可算得另，X的分布律为故似然函数为对数似然函数为解得的最大似然估计量，故的最大似然估计值。3. 解 ，令，故的矩估计量。4. 解 ，令，故的矩估计量为。5. 解 ，令，故的矩估计量为，另，似然函数 对数似然函数为解得的最大似然估计量为。6. 解 似然函数 对数似然函数解得的
7、最大似然估计量为。7. 解 根据习题1的结果，的矩估计和最大似然估计量都为，故平均时间间隔的矩估计和最大似然估计都为，即为。由样本观测值可算得。8. 解 似然函数 ，对数似然函数为得的最大似然估计量为。9. 解 故的矩估计量是的无偏估计。10. 证明：故的最大似然估计是的无偏估计。11. 证明 所以都是总体均值的无偏估计。又 可见，所以二个估计量中更有效。12. 证明 易见又 ，由公式（9），故 。由切比雪夫不等式，当，对任给，即是的相合估计。13. 解 由于已知，所以选用的置信区间。当，查表得，当，查表得。代入数据得的双侧0.9置信区间观测值为，即为。的双侧0.99置信区间观测值为，即为。1
8、4. 解 由于和都未知，故的双侧置信区间为，的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。的0.9双侧置信区间观测值为，即为。15. 解 由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，的0.95双侧置信区间观测值为，即为。故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。16. 解 由于已知，故的单侧置信下限为，的单侧置信上限为，代入数据得，故的0.95单侧置信下限观测值为，的0.95单侧置信上限观测值为。17. 解 由于未知，故的双侧置信区间为，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为，即为。18. 解 由于已知，故的的双侧置信区间为代入数据得，故的0.99双侧置信区间观测值为，即为。19. 解 由于未知，故的双侧置信区间为其中，代入数据得，故的0.95双侧置信区间观测值为 ,即为。20. 解 由于样本大小相对于总体容量来说很小，因此可使用有放回抽样的公式。样本成数，估计，标准差SE的估计为。21. 解 ，故，所以总体中拥有私人汽车的人的百分数的95%的置信区间观测值为。
